Sviluppo in Serie Di Taylor
ho questo esercizio:
studiare lo sviluppo in serie di taylor di punto iniziale x=0 : [tex]f(x)= \int_{0}^{1} e^{x{y}^1/3} dy[/tex]:
spiego il mio ragionamento:
innazitutto mi ricordo la serie di taylor per l'esponenziale:
[tex]e^x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}[/tex]
allora ho pensatomi riconduco l'integrale per sostituzione a questo e pongo [tex]z=xy^{1/3}[/tex] quindi [tex]dy=3 \frac{1}{xy^{-2/3}}dz[/tex]
poi:
[tex]\int_{0}^{x}( \sum_{n=0}^{\infty} z^n) 3 \frac{1}{xy^{-2/3}}dz[/tex]
quindi posso portare fuori i termini di sommatoria , le n e xy:
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} 3 \frac{1}{xy^{-2/3}} \int_{0}^{x}( z^n) dz[/tex]
e mi calcolo l'integrale:
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} 3 \frac{1}{xy^{-2/3}} [ z^n]_{0}^{x} dz[/tex]
però a parte un piccolo dubbio se sostituire o meno [tex]z=xy^{1/3}[/tex] o sostituire l'estremo di integrazione, cmq secondo il risultato nn viene che cosa posso aver sbagliato??
studiare lo sviluppo in serie di taylor di punto iniziale x=0 : [tex]f(x)= \int_{0}^{1} e^{x{y}^1/3} dy[/tex]:
spiego il mio ragionamento:
innazitutto mi ricordo la serie di taylor per l'esponenziale:
[tex]e^x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}[/tex]
allora ho pensatomi riconduco l'integrale per sostituzione a questo e pongo [tex]z=xy^{1/3}[/tex] quindi [tex]dy=3 \frac{1}{xy^{-2/3}}dz[/tex]
poi:
[tex]\int_{0}^{x}( \sum_{n=0}^{\infty} z^n) 3 \frac{1}{xy^{-2/3}}dz[/tex]
quindi posso portare fuori i termini di sommatoria , le n e xy:
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} 3 \frac{1}{xy^{-2/3}} \int_{0}^{x}( z^n) dz[/tex]
e mi calcolo l'integrale:
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} 3 \frac{1}{xy^{-2/3}} [ z^n]_{0}^{x} dz[/tex]
però a parte un piccolo dubbio se sostituire o meno [tex]z=xy^{1/3}[/tex] o sostituire l'estremo di integrazione, cmq secondo il risultato nn viene che cosa posso aver sbagliato??
Risposte
Sostituire è inutile secondo me. Dalla serie per l'esponenziale, scrivi direttamente
$e^{xy^{1/3}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(x y^{1/3})^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n y^{n/3}}{n!}$
A questo punto integrando
$\int_0^x(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n y^{n/3}}{n!})\ dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n }{n!}\int_0^x y^{n/3}\ dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n }{n!}[{3y^{{n+3}/3}}/{n+3}]_0^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{3 x^{{4n+3}/3}}{n!(n+3)}$
$e^{xy^{1/3}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(x y^{1/3})^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n y^{n/3}}{n!}$
A questo punto integrando
$\int_0^x(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n y^{n/3}}{n!})\ dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n }{n!}\int_0^x y^{n/3}\ dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n }{n!}[{3y^{{n+3}/3}}/{n+3}]_0^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{3 x^{{4n+3}/3}}{n!(n+3)}$
ok capito .. cmq sostituendo dovrebbe tornare uguale? cmq il risultato che ho io è diverso [tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(n+2)n!}x^{2n}[/tex] però potrebbe essere sbaglito che spesso il prof mette le soluzioni per esercizi simili e quindi nn ci fa capire niente.. 
altra cosa come mai hai lasciato gli estremi per sostituzione (0 e x )e nn hai lasciato gli estremi iniziali(0 e 1) ?? grazie mille in anticipo
altra cosa come mai hai lasciato gli estremi per sostituzione (0 e x )e nn hai lasciato gli estremi iniziali(0 e 1) ?? grazie mille in anticipo
Il risultato che ti ho scritto è corretto. Quello della tua soluzione credo prevede un esponente del tipo $xy^{1/2}$, o qualcosa di simile.
sisi ma infatti come ti ho detto spesso il prof mette la soluzione di altri esercizi.. grazie mille... invece per quanto riguarda gli estremi come mai hai messo tra x e 0?
"sella89":
[tex]\int_{0}^{x}( \sum_{n=0}^{\infty} z^n) 3 \frac{1}{xy^{-2/3}}dz[/tex]
quindi posso portare fuori i termini di sommatoria , le n e xy:
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} 3 \frac{1}{xy^{-2/3}} \int_{0}^{x}( z^n) dz[/tex]
e mi calcolo l'integrale:
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} 3 \frac{1}{xy^{-2/3}} [ z^n]_{0}^{x} dz[/tex]
però a parte un piccolo dubbio se sostituire o meno [tex]z=xy^{1/3}[/tex] o sostituire l'estremo di integrazione, cmq secondo il risultato nn viene che cosa posso aver sbagliato??
Gli hai scritti tu, non era così?
è si con la sostituzine di z mentre se nn faccio il metodo di sostituzino e gli estremi erano 1 e 0 quindi lascio 1 e 0 e faccio il resto grazie mille gentilissimo
gentilissimo
Ah, ok. Scusa, non avevo capito. Ero convinto ci fosse sempre $x$ come estremo di integrazione. Bé, allora la cosa diventa semplice
$\int_0^1(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n y^{n/3}}{n!})\ dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n }{n!}\int_0^1 y^{n/3}\ dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n }{n!}[{3y^{{n+3}/3}}/{n+3}]_0^1=\sum_{n=0}^\infty \frac{3 x^n}{n!(n+3)}$
$\int_0^1(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n y^{n/3}}{n!})\ dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n }{n!}\int_0^1 y^{n/3}\ dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n }{n!}[{3y^{{n+3}/3}}/{n+3}]_0^1=\sum_{n=0}^\infty \frac{3 x^n}{n!(n+3)}$
sisi infatti l'ho rifatto e viene proprio cosìì grazie mille e ho avuto la conferma che il prof ha scambiato completamente i compiti cmq grazie davvero sono in debito con tutto l'aiuto che mi stai dando
cmq grazie davvero sono in debito con tutto l'aiuto che mi stai dando
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