Sviluppo in serie di potenze

[Teo Mi]

Se ho la solita equazione del pendolo:

$theta '' + sin theta = 0$

con condizioni iniziali:

$ theta (0) = 0 e theta ' (0) = 1 $

come faccio a sviluppare la soluzione del problema in serie di potenze?

p.s.
l'avevo messo in fisica, ma forse è più matematico...

[Sk_Anonymous]

Sia $]a,b[ \subseteq \mathbb{R}$ l'intervallo massimale ove è garantita l'esistenza della soluzione al problema di Cauchy. Btw, deve ovviamente supporsi $0 \in ]a,b[$. Ammettiamo che $\theta$ sia analitica in un intorno $I := ]-R, R[$ dell'origine $x_0 = 0$, con $R \in \mathbb{R}^+$. Allora esistono un secondo intorno $J := ]-r, r[ \subseteq I$, con $r \in \mathbb{R}^+$, e coefficienti reali $a_0, a_1, ..., b_0, b_1, ...$ tali che $\theta(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ e $\sin(\theta(x)) = \sum_{k=0}^\infty b_k x^k$, per ogni $x \in J$. Di modo che $\theta'' + \sin(\theta) = 0$ sse $a_{k+2} + b_k = 0$, per ogni $k = 0, 1, ...$ A questo punto si tratta di derivare la relazione (ragionevolmente ricorsiva!) che lega i $b_k$ agli $a_k$. Suppongo ti starai chiedendo "come?"... Non è poi così difficile: per ogni $k \in \mathbb{N}$, vale $b_k = \frac{1}{k!} \cdot \left[\frac{d^k}{dx^k} \sin(\theta(x)) \right]_{x=0}$, e perciò si tratta di calcolare iterativamente le derivate della funzione composta $\psi: J \mapsto J: x \mapsto \sin(\theta(x))$ nel punto $x_0 = 0$. Giusto a titolo esemplificativo, prendiamo le prime:

- $\psi(0) = \sin(\theta(0)) = 0$, siccome per ipotesi $\theta(0) := 0$;

- $\psi'(0) = \cos(\theta(0)) * \theta'(0) = 1$, poiché è dato $\theta'(0) := 1$;

- $\psi''(0) = -\sin(\theta(0)) * (\theta'(0))^2 + \cos(\theta(0)) * \theta''(0) = \theta''(0)$. Senonché $\theta'' = -\sin(\theta))$, identicamente in $J$, e perciò $\theta''(0) = 0$.

A questo punto non so (e certo non mi interessa appurarlo!) se esista, oppure no, una "formula chiusa" per il k-esimo coefficiente della sequenza $b_0, b_1, ...$ Anyway sarò felice, se mai tu di trovarne alcuna dovessi essere fondo! Però altrimenti, se non dovessi mai riuscirci, felice tenterò d'essere comunque, e non è escluso che mi ci riesca pure, anzi di più...

[cavallipurosangue]

Io ti direi subito, che se non hai bisogno di una soluzione ultra precisa, e ti trovi in un intorno relativamente piccolo di 0, allore puoi approssimare in modo molto decoroso l'equazione in questo modo:
[size=150]$\ddot{\theta}+\theta=0$[/size]
Che mi sembra Moolto più facile...