Sviluppo in serie di Mc-Laurin e raggio di convergenza

[giulia.cavallaro1]

Ciao a tutti, vorrei una mano sulla risoluzione del seguente esercizio:

Si sviluppi in serie di Mc-Laurin la funzione:
$ f(x)=(1/2)*ln((1+x)/(1-x)) $
e si calcoli il raggio di convergenza della serie.

Ho anzitutto calcolato il campo di esistenza della funzione e ottengo: $ -1
Poi ho notato che:
$ f(x)=(1/2)*ln((1+x)/(1-x))= -1/2*[-ln(1-1+(1+x)/(1-x))]= -1/2[-ln(1-(-2x)/(1-x))]=(-1/2)*sum_(n>=1) ((-2x)/(1-x))^n/n $
in quanto mi sono ricondotta alla serie logaritmica.

La serie ottenuta converge per:
$ -1<(-2x)/(1-x)<1 $ , ovvero per $ 1/3
Grazie a quanti mi aiuteranno.

[donald_zeka]

$ln((1+x)/(1+x))=ln(1+x)-ln(1-x)$

[giulia.cavallaro1]

Ciao @Vulplasir. A quanto ho capito dal tuo suggerimento dovrei sfruttare lo sviluppo in serie per ogni singola funzione, cioè:

$ 1/2[ln(1+x)-ln(1-x)]=1/2[sum_(n >=1) (-1)^(n+1)*x^n/n-sum_(n >=1) (-1)^(n+1)*(-x)^n/n] $

E' giusto procedere così? Come posso compattare il tutto?

Altra domanda: potrei in tal caso sfruttare il teorema di derivazione per serie? Cioè procedere in questo modo:
$ f'(x)=1/(1-x^2) $ , che è lo sviluppo in serie della serie geometrica: $ sum_(n >= 0) x^(2n) $ , che converge per -1
Quindi applicare il teorema di integrazione per serie:
- in [0,x], con 0= 0) t^(2n)dt= sum_(n >= 0)int_(0)^(x) t^(2n)dt=sum_(n >= 0) x^(2n+1)/(2n+1) $ ;
- in [-x,0], con -1= 0) t^(2n)dt= sum_(n >= 0)int_(-x)^(0) t^(2n)dt=sum_(n >= 0) x^(2n+1)/(2n+1) $ .

Da cui si ottiene: $ f(x)=sum_(n >= 0) x^(2n+1)/(2n+1) $ .

Ora...quale dei procedimenti è quello corretto? La serie che rappresenta lo sviluppo della funzione è unica, quindi uno dei procedimenti deve essere necessariamente da escludere. Mi aiutate a fare chiarezza?

[donald_zeka]

Vanno bene tutti e due, scomponendo $ln((1+x)/(1-x))$ come $ln(1+x)-ln(1+x)$ si ha che la sua serie sarà uguale alla differenza termine a termine tra la serie di $ln(1+x)$ e la serie di $ln(1-x)$, guardando bene le loro serie si capisce come i termini con n pari si eliminino tra loro mentre i termini con n dispari si sommino, il che porta al risultato $f(x)=sum(x^(2n+1))/(2n+1)$, che è proprio il risultato che hai ottenuto con l'altro metodo, che è ugualmente corretto.

p.s. quando integri da 0 a x non c'è bisogno di suddividere i casi in cui $0

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[giulia.cavallaro1]

Ok grazie!
Ma allora il primo metodo che ho usato:

"salt21":...ho notato che:
$ f(x)=(1/2)*ln((1+x)/(1-x))= -1/2*[-ln(1-1+(1+x)/(1-x))]= -1/2[-ln(1-(-2x)/(1-x))]=(-1/2)*sum_(n>=1) ((-2x)/(1-x))^n/n $
in quanto mi sono ricondotta alla serie logaritmica.

era sbagliato? Non capisco perché ottenevo un risultato diverso...