Sviluppo in serie di Mac Laurin di una funzione
Salve a tutti, mi servirebbe un aiuto su un esercizio che mi chiede di calcolare lo sviluppo in serie di Mac Laurin di una funzione:
\(\displaystyle f(x)=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} \)
Ho pensato di procedere cercando di riscrivere la funzione in base agli sviluppi di funzioni note, come l'esponenziale, la funzione \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x} \) in modo da moltiplicare poi le serie che ottengo tramite il prodotto alla cauchy per serie di potenze.
Ecco il procedimento:
riscrivo la funzione sviluppando la differenza dei quadrati:
\(\displaystyle f(x)=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}=(1-x)(1+x)\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right) \)
Ora so che:
\(\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} \)
\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n} \)
\(\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n} \)
e quindi:
\(\displaystyle e^{x}=1+x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} \)
\(\displaystyle 1+x=e^{x}-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{2}\frac{x^{n}}{n!} \)
\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=1-x+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}x^{n} \)
\(\displaystyle 1-x=\frac{1}{1+x}-\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}-\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{2}(-1)^{n}x^{n} \)
Ho quindi ottenuto:
\(\displaystyle 1+x=\sum_{n=0}^{2}\frac{x^{n}}{n!} \)
\(\displaystyle 1-x=\sum_{n=0}^{2}(-1)^{n}x^{n} \)
\(\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n} \)
Ora non devo fare altro che il prodotto tra queste serie, utilizzando il prodotto alla Cauchy:
\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{2}\frac{x^{n}}{n!}\sum_{n=0}^{2}(-1)^{n}x^{n}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}=\sum_{n=0}^{2}\left(\sum_{i+j=n}\frac{(-1)^{i}}{j!}x^{n}\right)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}
\)
Essendo \(\displaystyle 1+x=\sum_{j=0}^{2}\frac{x^{j}}{j!} \) e \(\displaystyle 1-x=\sum_{i=0}^{2}(-1)^{i}x^{i} \)
Potrebbe andare bene come ragionamento? L'ultimo prodotto l'ho lasciato indicato, perchè non saprei come trattarlo visto soprattutto che gli indici vanno a valori differenti, uno va a 2 ed uno ad infinito. So fare i prodotti alla Cauchy sono se i 2 indici di 2 serie partono e vanno agli stessi valori.
Il problema mi chiede, poi, di determinare il raggio di convergenza della serie che ho ottenuto. Per fare questo osservo che sono tutte serie di potenze centrate nell'origine, e quindi il raggio di convergenza della serie prodotto è semplicemente il più piccolo tra le 3. Giusto? Dovrebbe essere il raggio in cui è soddisfatta la convergenza di tutte e 3. Vedo che la serie che deriva da quella esponenziale ha raggio di convergenza infinito, mentre le altre 2 hanno raggio di convergenza 1. Ho utilizzato il metodo di D'Alambert, che non ho scritto per brevità, tanto su questo passaggio sono abbastanza sicuro.
Ho quindi concluso che il raggio di convergenza della serie prodotto sia 1.
A questo punto mi viene chiesto di studiare la convergenza nei punti \(\displaystyle \pm R \).
In entrambi i casi ho il prodotto tra una serie oscillante ed una convergente (quella derivante dal prodotto alla cauchy che una volta è positiva e converge per il criterio del confronto, mentre poi è una serie a termini alterni che converge per il criterio di Leibnitz).
Pensate che possa andare bene come svolgimento?
Resto in attesa di vostre conferme o smentite
Saluti a tutti e grazie per l'attenzione
Enrico
\(\displaystyle f(x)=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} \)
Ho pensato di procedere cercando di riscrivere la funzione in base agli sviluppi di funzioni note, come l'esponenziale, la funzione \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x} \) in modo da moltiplicare poi le serie che ottengo tramite il prodotto alla cauchy per serie di potenze.
Ecco il procedimento:
riscrivo la funzione sviluppando la differenza dei quadrati:
\(\displaystyle f(x)=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}=(1-x)(1+x)\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right) \)
Ora so che:
\(\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} \)
\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n} \)
\(\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n} \)
e quindi:
\(\displaystyle e^{x}=1+x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} \)
\(\displaystyle 1+x=e^{x}-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{2}\frac{x^{n}}{n!} \)
\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=1-x+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}x^{n} \)
\(\displaystyle 1-x=\frac{1}{1+x}-\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}-\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{2}(-1)^{n}x^{n} \)
Ho quindi ottenuto:
\(\displaystyle 1+x=\sum_{n=0}^{2}\frac{x^{n}}{n!} \)
\(\displaystyle 1-x=\sum_{n=0}^{2}(-1)^{n}x^{n} \)
\(\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n} \)
Ora non devo fare altro che il prodotto tra queste serie, utilizzando il prodotto alla Cauchy:
\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{2}\frac{x^{n}}{n!}\sum_{n=0}^{2}(-1)^{n}x^{n}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}=\sum_{n=0}^{2}\left(\sum_{i+j=n}\frac{(-1)^{i}}{j!}x^{n}\right)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}
\)
Essendo \(\displaystyle 1+x=\sum_{j=0}^{2}\frac{x^{j}}{j!} \) e \(\displaystyle 1-x=\sum_{i=0}^{2}(-1)^{i}x^{i} \)
Potrebbe andare bene come ragionamento? L'ultimo prodotto l'ho lasciato indicato, perchè non saprei come trattarlo visto soprattutto che gli indici vanno a valori differenti, uno va a 2 ed uno ad infinito. So fare i prodotti alla Cauchy sono se i 2 indici di 2 serie partono e vanno agli stessi valori.
Il problema mi chiede, poi, di determinare il raggio di convergenza della serie che ho ottenuto. Per fare questo osservo che sono tutte serie di potenze centrate nell'origine, e quindi il raggio di convergenza della serie prodotto è semplicemente il più piccolo tra le 3. Giusto? Dovrebbe essere il raggio in cui è soddisfatta la convergenza di tutte e 3. Vedo che la serie che deriva da quella esponenziale ha raggio di convergenza infinito, mentre le altre 2 hanno raggio di convergenza 1. Ho utilizzato il metodo di D'Alambert, che non ho scritto per brevità, tanto su questo passaggio sono abbastanza sicuro.
Ho quindi concluso che il raggio di convergenza della serie prodotto sia 1.
A questo punto mi viene chiesto di studiare la convergenza nei punti \(\displaystyle \pm R \).
In entrambi i casi ho il prodotto tra una serie oscillante ed una convergente (quella derivante dal prodotto alla cauchy che una volta è positiva e converge per il criterio del confronto, mentre poi è una serie a termini alterni che converge per il criterio di Leibnitz).
Pensate che possa andare bene come svolgimento?
Resto in attesa di vostre conferme o smentite
Saluti a tutti e grazie per l'attenzione
Enrico
Risposte
$(1 - x^2)/(1 + x^2) = (1 + x^2 - 2x^2)/( 1 + x^2) = 1 - 2x^2 \sum (-1)^n x^(2n) = 1 + \sum 2 (-1)^(n+1) x^(2n + 2)$
Forse così è più semplice...
Forse così è più semplice...
Ah, ho capito. Se non sbaglio la tua serie ha sempre raggio di convergenza 1, soltanto che agli estremi è indeterminata, giusto?
Un'altra cosa, ma perchè il mio metodo, che senza alcun dubbio è più complicato, ma non funziona? O almeno va bene soltanto che non combacia il comportamento agli estremi dell'intervallo di convergenza.
Non capisco il motivo, alla fine sono gli stessi passaggi, solo che io sono passato per lo sviluppo di altre funzioni.
Un'altra cosa, ma perchè il mio metodo, che senza alcun dubbio è più complicato, ma non funziona? O almeno va bene soltanto che non combacia il comportamento agli estremi dell'intervallo di convergenza.
Non capisco il motivo, alla fine sono gli stessi passaggi, solo che io sono passato per lo sviluppo di altre funzioni.
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