Sviluppo in serie di Laurent con derivata
Salve ragazzi, avrei un problema co un esercizio di analisi complessa sugli sviluppi di Laurent...
Testualmente l'esercizio chiede:
Calcolare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione [tex]f(z)=(2z)/(z^2*(1+z^2)^2)[/tex] nella regione [tex]|z|<1[/tex]
Procedo dividendo la funzione cosi: [tex]f(z)=(1/z^2)*(d/dz((-1)/(1+z^2)))[/tex]
Il risultato dovrebbe essere: [tex]2*sum_{n=0} ^{+oo}(-1)^n*(n+1)*z^{2n-1}[/tex] ma non mi esce...
L'ho rifatto più volte, ma non riesco a capire dove sbaglio, tra l'altro sul mio materiale (e sul libro) non ho esempi simili... Sono certo che sarà una sciocchezza... Grazie a chi vorrà aiutarmi!
Testualmente l'esercizio chiede:
Calcolare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione [tex]f(z)=(2z)/(z^2*(1+z^2)^2)[/tex] nella regione [tex]|z|<1[/tex]
Procedo dividendo la funzione cosi: [tex]f(z)=(1/z^2)*(d/dz((-1)/(1+z^2)))[/tex]
Il risultato dovrebbe essere: [tex]2*sum_{n=0} ^{+oo}(-1)^n*(n+1)*z^{2n-1}[/tex] ma non mi esce...
L'ho rifatto più volte, ma non riesco a capire dove sbaglio, tra l'altro sul mio materiale (e sul libro) non ho esempi simili... Sono certo che sarà una sciocchezza... Grazie a chi vorrà aiutarmi!
Risposte
$-1/(1 + z^2)$ è la somma di una serie geometrica, che è $- sum_(k=0)^(+oo) (-z^2)^k = - sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k z^(2k)$, con $|z| < 1$.
La serie di potenza appena scritta è derivabile termine a termine per $z$ interno al cerchio di convergenza; quindi:
$- d/(dz) sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k z^(2k) = - sum_(k=0)^(+oo) d/(dz) (-1)^k z^(2k) = - sum_(k=1)^(+oo) (-1)^k k * z^(2k - 1)$
$1/z^2 * (2z)/(1 + z^2)^2 = 1/z^2 * - sum_(k=1)^(+oo) d/(dz) (-1)^k k * z^(2k - 1) = - sum_(k=1)^(+oo) (-1)^k k *z^(2k - 3)$
Facendo un cambio di indici $n = k - 1$ si ritrova:
$= sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^n (n+1) *z^(2n -1)$
La serie di potenza appena scritta è derivabile termine a termine per $z$ interno al cerchio di convergenza; quindi:
$- d/(dz) sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k z^(2k) = - sum_(k=0)^(+oo) d/(dz) (-1)^k z^(2k) = - sum_(k=1)^(+oo) (-1)^k k * z^(2k - 1)$
$1/z^2 * (2z)/(1 + z^2)^2 = 1/z^2 * - sum_(k=1)^(+oo) d/(dz) (-1)^k k * z^(2k - 1) = - sum_(k=1)^(+oo) (-1)^k k *z^(2k - 3)$
Facendo un cambio di indici $n = k - 1$ si ritrova:
$= sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^n (n+1) *z^(2n -1)$
Ciao Seneca, grazie infinite!
Io facevo lo stesso procedimento usato da te, anche se devo ammettere che prendevo un giro molto più lungo, in quanto scomponevo anche il binomio indivisibile, e mi trovavo due frazioni con al denominatore i complessi coniugati, dopodichè ritornavo sempre alla serie geometrica da te indicata... Il punto dove mi bloccavo era alla fine, sul cambio di indici... In particolare, mi spiegheresti perchè dopo la derivazione l'indice della sommatoria parte da 1 e non più da zero? Scusa per le domande forse stupidissime, ma voglio torgliermi ogni dubbio! Grazie mille ancora!
Io facevo lo stesso procedimento usato da te, anche se devo ammettere che prendevo un giro molto più lungo, in quanto scomponevo anche il binomio indivisibile, e mi trovavo due frazioni con al denominatore i complessi coniugati, dopodichè ritornavo sempre alla serie geometrica da te indicata... Il punto dove mi bloccavo era alla fine, sul cambio di indici... In particolare, mi spiegheresti perchè dopo la derivazione l'indice della sommatoria parte da 1 e non più da zero? Scusa per le domande forse stupidissime, ma voglio torgliermi ogni dubbio!
Grazie mille ancora!
Il modo più semplice per verificare se l'indice è corretto è scrivere i primi termini della serie e vedere se coincidono con i termini che ti aspetteresti.
Beh effettivamente la sommatoria delle derivate ha il termine di indice 0 nullo, essendo la derivata del termine 1... Grazie ancora e buona serata!
Grazie ancora e buona serata!
Salve di nuovo, uso questo stesso topic dato che il problema è praticamente lo stesso...
Mi sono bloccato su altri 2 sviluppi di Laurent, non so cos'è che sbeglio, forse non ragiono nel modo giusto...
Gli sviluppi sono i seguenti:
1) \(\displaystyle f(z) = \frac {e^z \sin z} {z (1 - \cos z)} \) centrato in \(\displaystyle z_0=0\)
2) \(\displaystyle f(z) = \frac {4 - \cos z} {z^6}\) centrato in \(\displaystyle z_0=2\pi\)
Nel primo caso tento di usare gli sviluppi noti e di combinarli tra loro con le ppropriate moltiplicazioni e divisioni.
Nel secondo caso faccio lo sviluppo del coseno, tenendo conto del \(z^6\) al denominatore e del \(\frac {4} {z^6}\).
In entrambi i casi il mio risultato non coincide con quello aspettato neanche per un termine...
Forse sbaglio proprio l'approccio a questo tipo di esercizio, non so... Grazie a che avrà la pazienza di aiutarmi!
Mi sono bloccato su altri 2 sviluppi di Laurent, non so cos'è che sbeglio, forse non ragiono nel modo giusto...
Gli sviluppi sono i seguenti:
1) \(\displaystyle f(z) = \frac {e^z \sin z} {z (1 - \cos z)} \) centrato in \(\displaystyle z_0=0\)
2) \(\displaystyle f(z) = \frac {4 - \cos z} {z^6}\) centrato in \(\displaystyle z_0=2\pi\)
Nel primo caso tento di usare gli sviluppi noti e di combinarli tra loro con le ppropriate moltiplicazioni e divisioni.
Nel secondo caso faccio lo sviluppo del coseno, tenendo conto del \(z^6\) al denominatore e del \(\frac {4} {z^6}\).
In entrambi i casi il mio risultato non coincide con quello aspettato neanche per un termine...
Forse sbaglio proprio l'approccio a questo tipo di esercizio, non so... Grazie a che avrà la pazienza di aiutarmi!
"Corr89":
Salve di nuovo, uso questo stesso topic dato che il problema è praticamente lo stesso...
Mi sono bloccato su altri 2 sviluppi di Laurent, non so cos'è che sbeglio, forse non ragiono nel modo giusto...
Gli sviluppi sono i seguenti:
1) \( f(z) = \frac {e^z \sin z} {z (1 - \cos z)} \) centrato in \(z0=0\)
2) \( f(z) = \frac {4 - \cos z} {z^6}\) centrato in \(z0=2\pi\)
Posta i tuoi tentativi.
Bene, per quanto riguarda il primo:
Il numeratore è: \[e^z*\sin z=(1+z+\frac{z^2}{2})*(z-\frac{z^3}{6}+\frac{z^5}{120})=z+z^2+\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{6}-\frac{3z^5}{40}+\frac{z^6}{120}+\frac{z^7}{240}\]
Il denominatore è: \[z*(1-\cos z)=z*(1-1+\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{24})=\frac{z^3}{2}-\frac{z^5}{24}\]
\[\frac{e^z*\sin z}{z*(1-\cos z)}=\frac{240z+240z^2+80z^3-40z^4-18z^5+2z^6+z^7}{240}*\frac{24}{12z^3-z^5}\]
Il risultato del primo dovrebbe essere invece: \[\frac{2}{z^2}+\frac{2}{z}+\frac{5}{6}+\frac{z}{6}-\frac{z^2}{360}\]
Per quanto riguarda il secondo:
ponendo \(u=z0-2\pi\) e cambiando la variabile da z in u si ha
\[ f(u)=\frac{4-\cos (u+2\pi)}{(u+2\pi)^6}=\frac{4-\cos(u)cos(2\pi)+\sin(u)\sin(2\pi)}{(u+2\pi)^6}=\]
\[\frac{4-\cos u}{(u+2\pi)^6}=\frac{4-(1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{24})}{(u+2\pi)^6})=\frac{3}{(u+2\pi)^6}+\frac{u^2}{2(u+2\pi)^6}-\frac{u^4}{24(u+2\pi)^6}\]
tornando alla variabile z
\[f(z)=\frac{3}{z^6}+\frac{(z-2\pi)^2}{2z^6}-\frac{(z-2\pi)^4}{24z^6}\]
Il risultato del secondo dovrebbe essere invece: \[\frac{3}{64\pi^6}-\frac{9}{64\pi^7}*(z-2\pi)+(\frac{63}{256\pi^8}+\frac{1}{128\pi^6})*(z-2\pi)^2\]
Il numeratore è: \[e^z*\sin z=(1+z+\frac{z^2}{2})*(z-\frac{z^3}{6}+\frac{z^5}{120})=z+z^2+\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{6}-\frac{3z^5}{40}+\frac{z^6}{120}+\frac{z^7}{240}\]
Il denominatore è: \[z*(1-\cos z)=z*(1-1+\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{24})=\frac{z^3}{2}-\frac{z^5}{24}\]
\[\frac{e^z*\sin z}{z*(1-\cos z)}=\frac{240z+240z^2+80z^3-40z^4-18z^5+2z^6+z^7}{240}*\frac{24}{12z^3-z^5}\]
Il risultato del primo dovrebbe essere invece: \[\frac{2}{z^2}+\frac{2}{z}+\frac{5}{6}+\frac{z}{6}-\frac{z^2}{360}\]
Per quanto riguarda il secondo:
ponendo \(u=z0-2\pi\) e cambiando la variabile da z in u si ha
\[ f(u)=\frac{4-\cos (u+2\pi)}{(u+2\pi)^6}=\frac{4-\cos(u)cos(2\pi)+\sin(u)\sin(2\pi)}{(u+2\pi)^6}=\]
\[\frac{4-\cos u}{(u+2\pi)^6}=\frac{4-(1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{24})}{(u+2\pi)^6})=\frac{3}{(u+2\pi)^6}+\frac{u^2}{2(u+2\pi)^6}-\frac{u^4}{24(u+2\pi)^6}\]
tornando alla variabile z
\[f(z)=\frac{3}{z^6}+\frac{(z-2\pi)^2}{2z^6}-\frac{(z-2\pi)^4}{24z^6}\]
Il risultato del secondo dovrebbe essere invece: \[\frac{3}{64\pi^6}-\frac{9}{64\pi^7}*(z-2\pi)+(\frac{63}{256\pi^8}+\frac{1}{128\pi^6})*(z-2\pi)^2\]
[xdom="Seneca"]Ho modificato le formule in modo che si vedano (erano minuscole).[/xdom]
$e^z/(1 - cos(z)) = e^z/( z^2/2 - z^4/24 + ...) = 1/z^2 * e^z/( 1/2 - z^2/24 + ... )$
Il primo termine dello sviluppo di Laurent è $2/z^2$, poiché $e^z/( 1/2 - z^2/24 + ... )$ è una $g(z)$ funzione analitica in un intorno dell'origine e $g(0) = 2$ e $sin(z)/z -> 1$ per $z -> 0$.
Fino a che termine volevi arrivare?
$e^z/(1 - cos(z)) = e^z/( z^2/2 - z^4/24 + ...) = 1/z^2 * e^z/( 1/2 - z^2/24 + ... )$
Il primo termine dello sviluppo di Laurent è $2/z^2$, poiché $e^z/( 1/2 - z^2/24 + ... )$ è una $g(z)$ funzione analitica in un intorno dell'origine e $g(0) = 2$ e $sin(z)/z -> 1$ per $z -> 0$.
Fino a che termine volevi arrivare?
Si grazie, non sono molto pratico con questi script per le formule...
Di solito arrivo al terzo termine...
Comunque il \(\frac{\sin z}{z}\) credo che essendo lo sviluppo centrato in z0 si può da subito considerare tendente ad 1, giusto?
Ma non ho capito il resto del ragionamento... Perchè il primo termine è \(\frac{1}{z^2}\), e come ottengo da \[\frac{1}{z^2}*\frac{e^z}{\frac{1}{2}-\frac{z^2}{24}}\] i restanti termini del risultato aspettato? Faccio lo sviluppo di \(e^z\) per i primi tre termini e moltiplico per il denominatore invertito o il ragionamento è un'altro? Scusa, ma sono impedito con questi sviluppi in serie... Grazie mille per la pazienza!
Di solito arrivo al terzo termine...
Comunque il \(\frac{\sin z}{z}\) credo che essendo lo sviluppo centrato in z0 si può da subito considerare tendente ad 1, giusto?
Ma non ho capito il resto del ragionamento... Perchè il primo termine è \(\frac{1}{z^2}\), e come ottengo da \[\frac{1}{z^2}*\frac{e^z}{\frac{1}{2}-\frac{z^2}{24}}\] i restanti termini del risultato aspettato? Faccio lo sviluppo di \(e^z\) per i primi tre termini e moltiplico per il denominatore invertito o il ragionamento è un'altro? Scusa, ma sono impedito con questi sviluppi in serie...
Grazie mille per la pazienza!
up 
In buona sostanza hai che: $f(z) = 1/z^2 * e^z/( 1/2 - z^2/24 + ... ) * sin(z)/z$
$e^z/( 1/2 - z^2/24 + ... ) * sin(z)/z$ è una funzione analitica in un intorno di $0$,
perché $g(z) = e^z/( 1/2 - z^2/24 + ... )$ e $h(z) = (sin(z))/z$ sono analitiche in un intorno di $0$.
Dunque $h_1(z) * g(z)$ ha una rappresentazione in serie di potenze $sum_(k=0)^(+oo) a_k z^k$, ed il primo termine della serie è $a_0 = h_1(0) * g(0) = 1 * 1/(1/2) = 2$.
Osserva che: $sum_(k=0)^(+oo) a_k z^k = 2 + sum_(k=1)^(+oo) a_k z^k$
Dunque $f(z) = 1/z^2 * h_1(z) * g(z) = 1/z^2 (2 + sum_(k=1)^(+oo) a_k z^k) = 2/z^2 + a_1/z + a_2 + a_3 z + ...$
$e^z/( 1/2 - z^2/24 + ... ) * sin(z)/z$ è una funzione analitica in un intorno di $0$,
perché $g(z) = e^z/( 1/2 - z^2/24 + ... )$ e $h(z) = (sin(z))/z$ sono analitiche in un intorno di $0$.
Dunque $h_1(z) * g(z)$ ha una rappresentazione in serie di potenze $sum_(k=0)^(+oo) a_k z^k$, ed il primo termine della serie è $a_0 = h_1(0) * g(0) = 1 * 1/(1/2) = 2$.
Osserva che: $sum_(k=0)^(+oo) a_k z^k = 2 + sum_(k=1)^(+oo) a_k z^k$
Dunque $f(z) = 1/z^2 * h_1(z) * g(z) = 1/z^2 (2 + sum_(k=1)^(+oo) a_k z^k) = 2/z^2 + a_1/z + a_2 + a_3 z + ...$
Buonasera a tutti. @Seneca ma in questo caso nella derivata il termine 2z al numeratore dove è finito??
Dodici anni dopo la vedo difficile che ti risponda ...
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