Sviluppo in serie di Laurent
questo è il primo esercizio che faccio sugli sviluppi in serie di Laurent,quindi siate buoni =)
allora ho da sviluppare $f(z)=(z-sinz)/z$ in $z_0=0$
$=[z-(z-z^3/3!+z^5/5!+...)]/z^5$=$[1/(3!z^2)-1/5!+z^2/7!+....]=\sum_{k=-1}^(+oo) ((-1)^(k+1)z^(2k))/((2k+5)!)$
e fin qui ci siamo...poi mi dice che tutta la roba sopra è uguale a =
$\sum_{k=-2}^(+oo)cos[(n\pi/2+\pi)](1/(n+5)!)z^n$ questo da dove esce?
e poi dice=lo sviluppo di Laurent,centrato in $z_0=0$, di f(z) ha tutti i coefficienti $c_n$ nulli per $n<-2$, c_2=$1/(3!)$ e infiniti $c_n!=0$ per $n>=0$
sapreste illuminarmi?
allora ho da sviluppare $f(z)=(z-sinz)/z$ in $z_0=0$
$=[z-(z-z^3/3!+z^5/5!+...)]/z^5$=$[1/(3!z^2)-1/5!+z^2/7!+....]=\sum_{k=-1}^(+oo) ((-1)^(k+1)z^(2k))/((2k+5)!)$
e fin qui ci siamo...poi mi dice che tutta la roba sopra è uguale a =
$\sum_{k=-2}^(+oo)cos[(n\pi/2+\pi)](1/(n+5)!)z^n$ questo da dove esce?
e poi dice=lo sviluppo di Laurent,centrato in $z_0=0$, di f(z) ha tutti i coefficienti $c_n$ nulli per $n<-2$, c_2=$1/(3!)$ e infiniti $c_n!=0$ per $n>=0$
sapreste illuminarmi?
Risposte
Purtroppo ora non ho molto tempo da dedicarti, eventualmente torna a postare e ne discutiamo con maggior calma in giornata. Ad ogni modo, non farti spaventare da quel coseno! 
Quella è solo una notazione un po' infelice (secondo me), per dirti che ci sono un po' di zeri e un po' di $(-1)^n$. Per accorgertene, puoi sviluppare la somma con le formule di addizione e discutere un po' di casi (anche se alcune cose le vedi già ad occhio: se $n$ è dispari, per esempio, $cos(npi/2+pi)=0$, ti torna?).
Poi sicuramente ha rinominato un po' di indici (ha chiamato $2k=n$). Sono passaggi standard, comunque, con un po' di esercizio vedrai che diventaranno in qualche modo "naturali".
Quella è solo una notazione un po' infelice (secondo me), per dirti che ci sono un po' di zeri e un po' di $(-1)^n$. Per accorgertene, puoi sviluppare la somma con le formule di addizione e discutere un po' di casi (anche se alcune cose le vedi già ad occhio: se $n$ è dispari, per esempio, $cos(npi/2+pi)=0$, ti torna?).
Poi sicuramente ha rinominato un po' di indici (ha chiamato $2k=n$). Sono passaggi standard, comunque, con un po' di esercizio vedrai che diventaranno in qualche modo "naturali".
grazie...ma non ci sono altri modi più immediati?
up
Scusami, sono stato preso da altre questioni e mi sono dimenticato di risponderti. Ad ogni modo, vuoi "modi più immediati" per che cosa? Per lo sviluppo in serie di Laurent?
Così su due piedi, mi sembra che la strada più corta sia scrivere $f(z)=1-sin z /z$ e usare lo sviluppo classico del seno in serie di Taylor. Comunque, tieni conto che lo sviluppo di Laurent è unico: come ti dicevo già venerdì, molto spesso è solo questione di capire le scritture (confrontarle e vedere che sono in realtà uguali).
Prova a fare un po' di conti e dimmi se ti è più chiaro.
Così su due piedi, mi sembra che la strada più corta sia scrivere $f(z)=1-sin z /z$ e usare lo sviluppo classico del seno in serie di Taylor. Comunque, tieni conto che lo sviluppo di Laurent è unico: come ti dicevo già venerdì, molto spesso è solo questione di capire le scritture (confrontarle e vedere che sono in realtà uguali).
Prova a fare un po' di conti e dimmi se ti è più chiaro.
Scusami, sono stato preso da altre questioni e mi sono dimenticato di risponderti. Ad ogni modo, vuoi "modi più immediati" per che cosa? Per lo sviluppo in serie di Laurent?
Così su due piedi, mi sembra che la strada più corta sia scrivere $f(z)=1-sin z /z$ e usare lo sviluppo classico del seno in serie di Taylor. Comunque, tieni conto che lo sviluppo di Laurent è unico: come ti dicevo già venerdì, molto spesso è solo questione di capire le scritture (confrontarle e vedere che sono in realtà uguali).
Prova a fare un po' di conti e dimmi se ti è più chiaro.
Così su due piedi, mi sembra che la strada più corta sia scrivere $f(z)=1-sin z /z$ e usare lo sviluppo classico del seno in serie di Taylor. Comunque, tieni conto che lo sviluppo di Laurent è unico: come ti dicevo già venerdì, molto spesso è solo questione di capire le scritture (confrontarle e vedere che sono in realtà uguali).
Prova a fare un po' di conti e dimmi se ti è più chiaro.
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