Sviluppo in Serie di Laurent.
Salve =)
ho visto che esistono gia dei topic aperti su questo argomento, ma nonostante li abbia letti non riesco a farmi una buona idea di come si riesca a sviluppare in serie di laurent una qualsivoglia funzione.
come prima cosa, avendo la funzione, trovo e classifico le singolarità. nel caso sia removibile mi riconduco interamente alla serie di taylor, nel caso di un polo di ordine n lo sviluppo di L. avrà n termini, nel caso di una essenziale lo sviluppo ha infiniti termini.
Le mie certezze si fermano qui, non ho capito a questo punto come tirarmi fuori i coefficienti dello sviluppo.
teoricamente so che i coefficienti dello sviluppo T-L sono dati dalla formula:
$a_n$ = $1/(2pi)$$\int$$f(z)$/$(z-z_0)^(n+1)$$$dz
nel caso di un polo è sufficiente che io calcoli l'integrale sostituendo n ? ad esempio per calcolarmi $a_(-1)$ pongo n=-1 nella formula sopra e ritroverei la formula nota per il calcolo del residuo. Per $a_(-2)$ pongo n=-2.
passando invece al caso di una singolarità essenziale non so come procedere, devo calcolarmi quell' integrale lasciando n indicato ?
Concludo riportando un esercizio:
$f(z)$ = $(e^(z^2)+e^(-z^2))/(z^2)$
la funzione presenta un polo di ordine due in z = 0, dunque il mio sviluppo di laurent avrà due termini.
leggendo anche gli altri topic ho pensato di raccogliere $1/z^2$ così da avere la somma dei due esponenziali.
da qui inizio a brancolare nel buio.
per gli esponenziali sfrutto lo sviluppo di taylor ?
in tal caso dopo, nel calcolo dei coefficienti, la mia $f(z)$ sarebbe solamente $1/z^2$ ?
se invece non è lecito raccogliere come descritto sopra per il calcolo dei coefficienti potrei usare jordan ?
mi rendo conto che probabilmente sono domande a cui si può rispondere con un osservazione, ma non riesco proprio a farlo da sola. Vi ringrazio gia da subito ^^
ho visto che esistono gia dei topic aperti su questo argomento, ma nonostante li abbia letti non riesco a farmi una buona idea di come si riesca a sviluppare in serie di laurent una qualsivoglia funzione.
come prima cosa, avendo la funzione, trovo e classifico le singolarità. nel caso sia removibile mi riconduco interamente alla serie di taylor, nel caso di un polo di ordine n lo sviluppo di L. avrà n termini, nel caso di una essenziale lo sviluppo ha infiniti termini.
Le mie certezze si fermano qui, non ho capito a questo punto come tirarmi fuori i coefficienti dello sviluppo.
teoricamente so che i coefficienti dello sviluppo T-L sono dati dalla formula:
$a_n$ = $1/(2pi)$$\int$$f(z)$/$(z-z_0)^(n+1)$$$dz
nel caso di un polo è sufficiente che io calcoli l'integrale sostituendo n ? ad esempio per calcolarmi $a_(-1)$ pongo n=-1 nella formula sopra e ritroverei la formula nota per il calcolo del residuo. Per $a_(-2)$ pongo n=-2.
passando invece al caso di una singolarità essenziale non so come procedere, devo calcolarmi quell' integrale lasciando n indicato ?
Concludo riportando un esercizio:
$f(z)$ = $(e^(z^2)+e^(-z^2))/(z^2)$
la funzione presenta un polo di ordine due in z = 0, dunque il mio sviluppo di laurent avrà due termini.
leggendo anche gli altri topic ho pensato di raccogliere $1/z^2$ così da avere la somma dei due esponenziali.
da qui inizio a brancolare nel buio.
per gli esponenziali sfrutto lo sviluppo di taylor ?
in tal caso dopo, nel calcolo dei coefficienti, la mia $f(z)$ sarebbe solamente $1/z^2$ ?
se invece non è lecito raccogliere come descritto sopra per il calcolo dei coefficienti potrei usare jordan ?
mi rendo conto che probabilmente sono domande a cui si può rispondere con un osservazione, ma non riesco proprio a farlo da sola. Vi ringrazio gia da subito ^^
Risposte
"Elyon_90":
Salve =)
Buonasera a te e benvenuta.
"Elyon_90":
come prima cosa, avendo la funzione, trovo e classifico le singolarità. nel caso sia removibile mi riconduco interamente alla serie di taylor, nel caso di un polo di ordine n lo sviluppo di L. avrà n termini, nel caso di una essenziale lo sviluppo ha infiniti termini.
E' impreciso quanto dici: è quasi giusto, nel senso che manca la specificazione "termini di esponente negativo". Come certamente saprai, lo sviluppo di Laurent è un tipo particolare di serie bilatera, cioè un'espressione del tipo $sum_{n=-infty}^{infty} a_nz^n$.
Ora prendi una funzione $f$ che abbia una singolarità isolata in un punto $z_0$: puoi classificare il tipo di singolarità a seconda dello sviluppo in serie di Laurent della funzione in un intorno di $z_0$. Precisamente, se tutti i termini di esponente negativo sono nulli, allora hai una singolarità eliminabile. Se invece hai un numero finito di termini di posto negativo sei in presenza di un polo (e il valore assoluto del più grande esponente negativo coincide ovviamente con l'ordine del polo); infine, se hai infiniti termini con esponente negativo sei in presenza di una singolarità essenziale.
Mi chiederai ora come si trova lo sviluppo in serie di Laurent in un intorno di $z_0$ di una funzione qualsiasi. Le idee sono: usare gli sviluppi di Taylor (che spesso in $CC$ vengono assunti come definizione delle funzioni stesse), ricondursi quando possibile a una opportuna serie geometrica e tenere a mente formule come quella della serie prodotto secondo Cauchy (non si sa mai...).
"Elyon_90":
Concludo riportando un esercizio:
$f(z)$ = $(e^(z^2)+e^(-z^2))/(z^2)$
la funzione presenta un polo di ordine due in z = 0, dunque il mio sviluppo di laurent avrà due termini.
No, avrà due termini con esponente negativo. Più precisamente tenuto conto che per ogni $z in CC$ si ha $e^z := \sum_{n=0}^{infty} z^n/(n!)$, possiamo scrivere
$f(z)=1/z^2 ( \sum_{n=0}^{infty} z^(2n)/(n!) + \sum_{n=0}^{infty} (-z^2)^n/(n!) ) = \sum_{n=0}^{infty} (2z^(2(2n-1)))/((2n!))$ e questo sviluppo è valido per ogni $z \in CC setminus \{0\}$.
Come si può vedere lo sviluppo ha solo due termini di posto negativo e quindi $z=0$ è un polo di ordine 2. Sapresti dirmi - senza fare conti! - il residuo di $f$ in $z_0=0$?
Ancora, ti faccio notare che la nostra funzione si può scrivere come $f(z)=2/z^2 cosh(z^2)$ e se ci fai caso tutto torna (pensa allo sviluppo di MacLaurin del coseno iperbolico).
Ho chiarito almeno un po'?
Buono studio e buona permanenza tra noi.
Innanzitutto grazie mille per la velocità della risposta !
Adesso ho le idee un pò più chiare, ma purtroppo rimangono un pò di dubbi.. =) vedo se riesco a spiegarmi.
Ho capito finalmente come si arriva a scrivere la serie ( gia una conquista ! )
tuttavia a me servirebbe separare la parte a coefficienti positivi e quella a coefficienti negativi. Il nostro docente ha chiamato la prima parte " parte di taylor della serie bilatera" e la seconda " parte di Laurent "
quindi in questo linguaggio a me servirebbe esplicitare i due termini della seconda parte..
se ho capito bene i coefficienti qui sarebbero dati da $a_n$ = $1/(2n!)$.
per avere i coefficienti $a_-1$ e $a_-2$ come devo procedere ? avevo pensato di porre rispettivamente $n=-1$ e $n=-2$ ma ho visto che la sommatoria va da zero a infinito..
Allora ho pensato che effettivamente per $n=0$ otterrei $z^-2$ e questo mi darebbe un termine dello sviluppo a potenze negative, l'altro termine ? dato che ho un polo del secondo ordine dovrei averne due.. qui ponendo $n=1$ finiamo gia ad avere $z^2$
per chiarezza ti scrivo come abbiamo definito la serie bilatera
$\sum_{n=-infty}^\{infty}\a_n(z-z_0)^n$ = $\sum_{n=0}^\{infty}\a_n(z-z_0)^n$ + $\sum_{n=0}^\{infty}\a_n(z-z_0)^-n$
la prima parte ( a coefficienti positivi) è quella che abbiamo chiamato parte di taylor, la seconda ( a coefficienti negativi) di Laurent.
dovrebbe corrispondere al coefficiente $a_-1$ ..
uhm... quest'ultimo l'abbiamo definito come coefficiente di $(z-z_o)^-1$ in questo sviluppo questo termine è assente.. supporrei che il Residuo sia nullo ?
se fosse così avrei anche capito dov'è sparito il coefficiente che cercavo prima xD
ora ragiono ad alta voce: dunque ponendo $n=0$ trovo $1/(2z^2)$ e quindi $1/2$ = $a_-2$ dato che nello sviluppo in serie trovato non perviene il termine con esponente $n=-1$ il residuo in zero sarà nullo in quanto $a_-1$ =$0$
guarda se mi hai fatto capire con un solo post ti meriti un monumento !!
Adesso ho le idee un pò più chiare, ma purtroppo rimangono un pò di dubbi.. =) vedo se riesco a spiegarmi.
Ho capito finalmente come si arriva a scrivere la serie ( gia una conquista ! )
tuttavia a me servirebbe separare la parte a coefficienti positivi e quella a coefficienti negativi. Il nostro docente ha chiamato la prima parte " parte di taylor della serie bilatera" e la seconda " parte di Laurent "
quindi in questo linguaggio a me servirebbe esplicitare i due termini della seconda parte..
se ho capito bene i coefficienti qui sarebbero dati da $a_n$ = $1/(2n!)$.
per avere i coefficienti $a_-1$ e $a_-2$ come devo procedere ? avevo pensato di porre rispettivamente $n=-1$ e $n=-2$ ma ho visto che la sommatoria va da zero a infinito..
Allora ho pensato che effettivamente per $n=0$ otterrei $z^-2$ e questo mi darebbe un termine dello sviluppo a potenze negative, l'altro termine ? dato che ho un polo del secondo ordine dovrei averne due.. qui ponendo $n=1$ finiamo gia ad avere $z^2$
per chiarezza ti scrivo come abbiamo definito la serie bilatera
$\sum_{n=-infty}^\{infty}\a_n(z-z_0)^n$ = $\sum_{n=0}^\{infty}\a_n(z-z_0)^n$ + $\sum_{n=0}^\{infty}\a_n(z-z_0)^-n$
la prima parte ( a coefficienti positivi) è quella che abbiamo chiamato parte di taylor, la seconda ( a coefficienti negativi) di Laurent.
Sapresti dirmi - senza fare conti! - il residuo di f in z0=0?
dovrebbe corrispondere al coefficiente $a_-1$ ..
uhm... quest'ultimo l'abbiamo definito come coefficiente di $(z-z_o)^-1$ in questo sviluppo questo termine è assente.. supporrei che il Residuo sia nullo ?
se fosse così avrei anche capito dov'è sparito il coefficiente che cercavo prima xD
ora ragiono ad alta voce: dunque ponendo $n=0$ trovo $1/(2z^2)$ e quindi $1/2$ = $a_-2$ dato che nello sviluppo in serie trovato non perviene il termine con esponente $n=-1$ il residuo in zero sarà nullo in quanto $a_-1$ =$0$
guarda se mi hai fatto capire con un solo post ti meriti un monumento !!
"Elyon_90":
Ho capito finalmente come si arriva a scrivere la serie ( gia una conquista ! )
tuttavia a me servirebbe separare la parte a coefficienti positivi e quella a coefficienti negativi. Il nostro docente ha chiamato la prima parte " parte di taylor della serie bilatera" e la seconda " parte di Laurent "
quindi in questo linguaggio a me servirebbe esplicitare i due termini della seconda parte..
se ho capito bene i coefficienti qui sarebbero dati da $a_n$ = $1/(2n!)$.
per avere i coefficienti $a_-1$ e $a_-2$ come devo procedere ? avevo pensato di porre rispettivamente $n=-1$ e $n=-2$ ma ho visto che la sommatoria va da zero a infinito..
Allora ho pensato che effettivamente per $n=0$ otterrei $z^-2$ e questo mi darebbe un termine dello sviluppo a potenze negative, l'altro termine ? dato che ho un polo del secondo ordine dovrei averne due.. qui ponendo $n=1$ finiamo gia ad avere $z^2$
Sì, io sono abituato a scrivere le serie nel modo più sintetico possibile
Comunque, come giustamente dici dopo, se cominci a scrivere i primi termini della serie (ovviamente devi partire da $n=0$) trovi i coefficienti che cerchi.
"Elyon_90":
Sapresti dirmi - senza fare conti! - il residuo di f in z0=0?
dovrebbe corrispondere al coefficiente $a_-1$ ..
uhm... quest'ultimo l'abbiamo definito come coefficiente di $(z-z_o)^-1$ in questo sviluppo questo termine è assente.. supporrei che il Residuo sia nullo ?
E supporresti bene
Si vede subito: gli esponenti che compaiono nella serie sono tutti pari, quindi non c'è speranza alcuna di trovare un'esponente dispari nello sviluppo. Detto altrimenti, i coefficienti $a_{2k-1}=0$, per ogni $k \in \NN$; in particolare, anche $a_{-1}=0$. Dunque residuo nullo, come congetturato.
Più chiaro, ora?
"Elyon_90":
[...] grazie mille per la velocità della risposta ! [...]
guarda se mi hai fatto capire con un solo post ti meriti un monumento !!
Ma figurati, è un piacere. Grazie a te.
grazie mille =) avevo quasi perso le speranze, ho l'esame di metodi matematici lunedì ! eheh, mi son svegliata tardi per chiedere una mano ^_^
Buon fine settimana !
Buon fine settimana !
In bocca al lupo, allora!
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