Sviluppo in serie di Laurent

[pater46]

Ciao ragazzi, è da tanto tempo che non posto.. Ma ahimè, mi sto preparando per analisi 3

Volevo esporvi questo mio dubbio: Prendiamo una semplice

$f(z) = 1/(z-1) $

e proviamo a svilupparla per $ |z| > 2 $. Per la definizione degli $a_n $, allora:

$a_n = 1/(2 pi i ) int_(+ \gamma_\rho ) 1/(z-1) \cdot 1/z^(n+1) dz = 1/(2 pi i ) int_(+ \gamma_\rho )\phi(z) dz $
con $ \gamma_\rho $ circonferenza di raggio $\rho > 2 $ centrata nell'origine.

Calcoliamo questo integrale coi residui ottenendo in pratica $a_n = Res(\phi, 0) + Res(\phi, 1)$. Calcoliamo questi residui:

1) $Res(\phi, 0)$

$lim_(z->1) (z-1) \cdot 1/(z-1) \cdot 1/z^(n+1) = lim_(z->1) 1/z^(n+1) = 1$

2) $Res(\phi, 1)$

$lim_(z->0) d^n/(dz^n) z^(n+1) 1/(z-1) cdot 1/z^(n+1) = lim_(z->0) d^n/(dz^n) 1/(z-1) = lim_(z->0) (-1)^n n! 1/(z-1)^(n+1) = -n! $

Avrei ottenuto quindi:

$ 1/(z-1) = sum_(n=-oo)^(oo) (1-n!) z^n $ che, però, per Wolfram non coverge.

Dove sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Onestamente, non capisco il senso del tuo procedimento. In ogni modo, puoi procedere così:

$1/(z-1)=1/(z(1-1/z))=1/z*1/(1-1/z)=1/zsum_(n=0)^(+oo)1/z^n=sum_(n=0)^(+oo)1/z^(n+1)$

ottenendo così uno sviluppo valido, non solo per $|z|>2$, ma addirittura per $|z|>1$.

[pater46]

Mi torna il tuo procedimento, ma non dovrebbe essere valido anche il mio? Non capisco cos'è che non vada

[Sk_Anonymous]

"pater46":
$Res(\phi, 0)=lim_(z->1) (z-1) \cdot 1/(z-1) \cdot 1/z^(n+1) = lim_(z->1) 1/z^(n+1) = 1$

Probabilmente volevi scrivere $Res(\phi,1)$.

"pater46":
$Res(\phi,1)=lim_(z->0) d^n/(dz^n) z^(n+1) 1/(z-1) cdot 1/z^(n+1)$

Probabilmente volevi scrivere $Res(\phi,0)=1/(n!)lim_(z->0) d^n/(dz^n) z^(n+1) 1/(z-1) cdot 1/z^(n+1)$

[pater46]

Oooh cavolo ho dimenticato di dividere per il fattoriale. Grande non l'avevo visto.

Si, ho scambiato i punti dei residui Svista. Ma così facendo otteniamo $a_n = 1 - 1=0$ il che mi pare impossibile.

[Sk_Anonymous]

"pater46":
Per la definizione degli $a_n$, allora:
$a_n = 1/(2 pi i ) int_(+ \gamma_\rho ) 1/(z-1) \cdot 1/z^(n+1) dz = 1/(2 pi i ) int_(+ \gamma_\rho )\phi(z) dz $
con $ \gamma_\rho $ circonferenza di raggio $\rho > 2 $ centrata nell'origine.

Devi fare $2$ casi: $[n<=-1]$ e allora quel residuo vale $[0]$, $[n> -1]$ e allora quel residuo vale $[-1]$. In ogni modo, questo procedimento mi sembra troppo involuto.