Sviluppo in serie di Laurent
Salve a tutti,
mi trovo in difficoltà ad effettuare lo sviluppo in serie di Laurent (o meglio, non sono sicuro di quello che ho fatto) di $f(z)=(1)/(z^2+9)$ in $z_0=3i$ nella regione $0<|z-3i|<6$.
Procedo nel decomporre la funzione con il metodo dei fratti semplici:
$(1)/(z^2+9)=(A)/(z+3i)+(B)/(z-3i)=(1)/(6i)(-(1)/(z+3i)+(1)/(z-3i))$
Ora studio i singoli addendi: $f(z)=(1)/(6i)(f_1(z)+f_2(z))$
$f_2(z)=(1)/(z-3i)$ è già il suo sviluppo di Laurent con centro in $z_0$
per quanto riguarda $f_1(z)$ scrivo il rapporto centrato in $z_0$:
$f_1(z-z_0)=-(1)/(z-3i+6i)=-(1)/(6i)(1)/(1+((z-3i)/(6i))$
quindi ora posso ricondurre $f_1(z)$ centrato in $z_0$ alla serie geometrica $-(1)/(6i)\sum_{n=0}^\infty(-1)^n((z-3i)/(6i))^n$ che converge nella regione $|(z-3i)/(6i)|<1$ ovvero in $|z-3i|<6i$
Secondo voi è giusto il procedimento?
Perciò ora posso scrivere la $f(z)=(1)/(6i)(-(1)/(6i)\sum_{n=0}^\infty(-1)^n/(6i)^n(z-3i)^n+(1)/(z-3i))=(1)/(36)\sum_{n=0}^\infty(-1)^n/(6i)^n(z-3i)^n-(i)/(6)(1)/(z-3i)$
mi trovo in difficoltà ad effettuare lo sviluppo in serie di Laurent (o meglio, non sono sicuro di quello che ho fatto) di $f(z)=(1)/(z^2+9)$ in $z_0=3i$ nella regione $0<|z-3i|<6$.
Procedo nel decomporre la funzione con il metodo dei fratti semplici:
$(1)/(z^2+9)=(A)/(z+3i)+(B)/(z-3i)=(1)/(6i)(-(1)/(z+3i)+(1)/(z-3i))$
Ora studio i singoli addendi: $f(z)=(1)/(6i)(f_1(z)+f_2(z))$
$f_2(z)=(1)/(z-3i)$ è già il suo sviluppo di Laurent con centro in $z_0$
per quanto riguarda $f_1(z)$ scrivo il rapporto centrato in $z_0$:
$f_1(z-z_0)=-(1)/(z-3i+6i)=-(1)/(6i)(1)/(1+((z-3i)/(6i))$
quindi ora posso ricondurre $f_1(z)$ centrato in $z_0$ alla serie geometrica $-(1)/(6i)\sum_{n=0}^\infty(-1)^n((z-3i)/(6i))^n$ che converge nella regione $|(z-3i)/(6i)|<1$ ovvero in $|z-3i|<6i$
Secondo voi è giusto il procedimento?
Perciò ora posso scrivere la $f(z)=(1)/(6i)(-(1)/(6i)\sum_{n=0}^\infty(-1)^n/(6i)^n(z-3i)^n+(1)/(z-3i))=(1)/(36)\sum_{n=0}^\infty(-1)^n/(6i)^n(z-3i)^n-(i)/(6)(1)/(z-3i)$
Risposte
Scusa, sono uno studente anche io, quindi prendi con le pinze ciò che dirò:
la serie geometrica non dovrebbe convergere a $ 1/(1-(z-a) $ ? Cioè il segno meno, lì non c'è quindi non puoi scrivere così penso...
la serie geometrica non dovrebbe convergere a $ 1/(1-(z-a) $ ? Cioè il segno meno, lì non c'è quindi non puoi scrivere così penso...
Ciao Nasmil a questo credo di riuscire a rispondere...
quando una serie geometrica converge, conosciamo la sua somma: $(1)/(1-q)$
perciò se noi abbiamo un rapporto del tipo $(1)/(1+t)$ , se noi poniamo $t=-q$ allora possiamo riscrivere la somma come $(1)/(1-q)$ come la serie nota $\sum_(n>=0) (q)^n=\sum_(n>=0)(-t)^n=\sum_(n>=0)(-1)^n(t)^n$
è per questo che antepongo il termine $(-1)^n$.
Te cosa ne pensi del mio ragionamento per lo sviluppo di Laurent della funzione che ho fatto?
quando una serie geometrica converge, conosciamo la sua somma: $(1)/(1-q)$
perciò se noi abbiamo un rapporto del tipo $(1)/(1+t)$ , se noi poniamo $t=-q$ allora possiamo riscrivere la somma come $(1)/(1-q)$ come la serie nota $\sum_(n>=0) (q)^n=\sum_(n>=0)(-t)^n=\sum_(n>=0)(-1)^n(t)^n$
è per questo che antepongo il termine $(-1)^n$.
Te cosa ne pensi del mio ragionamento per lo sviluppo di Laurent della funzione che ho fatto?
"mdonatie":
Ciao Nasmil a questo credo di riuscire a rispondere...
quando una serie geometrica converge, conosciamo la sua somma: $(1)/(1-q)$
perciò se noi abbiamo un rapporto del tipo $(1)/(1+t)$ , se noi poniamo $t=-q$ allora possiamo riscrivere la somma come $(1)/(1-q)$ come la serie nota $\sum_(n>=0) (-q)^n=\sum_(n>=0)(-1)^n(q)^n$
è per questo che antepongo il termine $(-1)^n$.
Te cosa ne pensi del mio ragionamento per lo sviluppo di Laurent della funzione che ho fatto?
Ciao mdonatie, non conoscevo questo aspetto della serie, in pratica è una serie che alterna il segno allora...
Per quanto riguarda il ragionamento penso sia corretto. Anche io ho prima trovato i poli, visto di che ordine sono, ho scomposto in fratti semplici, dopodiché con i "trucchetti" algebrici sono giunto alla soluzione. Unica cosa che mi mancava era riguardo il segno a cui mi hai risposto..
Ho modificato la mia risposta, perché avevo sbagliato la dimostrazione :'D
comunque grazie Nasmil, il parere di qualcun altro solleva sempre il morale!
comunque grazie Nasmil, il parere di qualcun altro solleva sempre il morale!
"mdonatie":
Ho modificato la mia risposta, perché avevo sbagliato la dimostrazione :'D
comunque grazie Nasmil, il parere di qualcun altro solleva sempre il morale!
Aspettiamo il parere degli esperti.
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