Sviluppo in serie di Laurent

[luca7111]

Ciao a tutti!
Come si sviluppa in serie di Laurent la seguente funzione nella corona con $0<|z|<4$?
$f(z)=1/(z^2+2iz+3)$
Il problema è che ottengo due sviluppi separati per $0<|z|<3$ e $3<|z|<4$, e non so se si possono ricondurre entrambi ad un unico sviluppo.
Grazie mille in anticipo!

[gordnbrn]

$f(z)=i/4*1/(z+3i)-i/4*1/(z-i)$

Puoi sviluppare per $0<|z|<1$, per $1<|z|<3$ e per $|z|>3$.

[luca7111]

Ok, fin qui c'ero arrivato, il problema è che non so come fare lo sviluppo in $0<|z|<4$. Non riesco a ricondurmi ad una forma $1/(1-q)$ con $q<1$.

[gordnbrn]

Per $0<|z|<1$:

$f(z)=i/4*1/(z+3i)-i/4*1/(z-i)=i/4*1/(3i(1+z/(3i)))-i/4*1/(-i(1+z/(-i)))=1/12*1/(1-i/3z)+1/4*1/(1+iz)$

Negli altri due casi, al denominatore della frazione raccogli il termine noto o la variabile $z$ a seconda dell'insieme di definizione e stando attento che la ragione deve essere minore di uno.

[luca7111]

Aspetta, non è una questione di saper fare gli sviluppi o meno. L'esercizio mi chiede di fare lo sviluppo della funzione tra 0 e 4, ma adesso mi è venuto il dubbio: devo per forza fare sviluppi diversi a seconda dei casi? O c'è un modo per fare un unico sviluppo tra 0 e 4 (che mi sembra impossibile)?

[gordnbrn]

Il testo avrebbe potuto essere più chiaro, anche se è un modo comune di esprimersi. Devi fare gli sviluppi per $0<|z|<1$, per $1<|z|<3$ e per $3<|z|<4$. Ogni regione con un artificio diverso che ti permetta di ricondurti alla serie geometrica.

[luca7111]

Va bene, mi serviva una conferma di questo. Grazie mille