Sviluppo in serie di Laurent
Nello sviluppo di [tex]f(z)=e^{(1/z)}[/tex] in un intorno di [tex]z_0=0[/tex] il mio libro sostituisce nello sviluppo di Mc-Laurin di [tex]e^{t}[/tex], [tex]t=1/z[/tex]. La domanda che vi pongo è la seguente: essendo [tex]t=1/z[/tex], se sfrutto lo sviluppo [tex]e^{t}[/tex] in un intorno di [tex]0[/tex] allora non sto sviluppando [tex]e^{1/z}[/tex] in un intorno di $oo$?
Spero di essere stato chiaro...
Spero di essere stato chiaro...
Risposte
Ho cancellato il mio intervento precedente.
La serie di potenze
\[\sum_{k = 0}^{+ \infty} \dfrac{t^n}{n!} \]
converge alla funzione $e^t$ in tutto il piano complesso. La serie \[\sum_{k = 0}^{+ \infty} \dfrac{1}{z^n \cdot n!} \]
Converge nella corona circolare $\Omega$: \[ \Omega = \{ z \in \mathbb{C} : z \ne 0 \} \]
L'unicità dello sviluppo in serie di Laurent ti garantisce che quella serie di potenze di $1/z$ (che hai ottenuto mediante sostituzione) è proprio la serie di Laurent della funzione $e^(1/z)$.
La serie di potenze
\[\sum_{k = 0}^{+ \infty} \dfrac{t^n}{n!} \]
converge alla funzione $e^t$ in tutto il piano complesso. La serie \[\sum_{k = 0}^{+ \infty} \dfrac{1}{z^n \cdot n!} \]
Converge nella corona circolare $\Omega$: \[ \Omega = \{ z \in \mathbb{C} : z \ne 0 \} \]
L'unicità dello sviluppo in serie di Laurent ti garantisce che quella serie di potenze di $1/z$ (che hai ottenuto mediante sostituzione) è proprio la serie di Laurent della funzione $e^(1/z)$.
Vediamo se ho capito:
Non posso sviluppare in $z_0=0 $ la funzione $e^(1/z)$ con Taylor perchè questa non è definita nel punto. Cerco quindi lo sviluppo di Laurent in una corona circolare di $z_0$, in particolare $ \CC-{z_0} $. Ponendo $ 1/z=t $ ottengo $ e^t$ che ha tutti i requisiti per essere sviluppata con Taylor, quindi arrivo a $ \sum_(0)^(+oo) t^n/(n!) $. Risostituendo ottengo lo sviluppo della funzione iniziale in quella corona circolare, che, per l'unicità, corrisponde proprio allo sviluppo di Laurent.
Non posso sviluppare in $z_0=0 $ la funzione $e^(1/z)$ con Taylor perchè questa non è definita nel punto. Cerco quindi lo sviluppo di Laurent in una corona circolare di $z_0$, in particolare $ \CC-{z_0} $. Ponendo $ 1/z=t $ ottengo $ e^t$ che ha tutti i requisiti per essere sviluppata con Taylor, quindi arrivo a $ \sum_(0)^(+oo) t^n/(n!) $. Risostituendo ottengo lo sviluppo della funzione iniziale in quella corona circolare, che, per l'unicità, corrisponde proprio allo sviluppo di Laurent.
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