Sviluppo in serie di f(x)=1/(x^2+x+1)
Sviluppo in serie di f(x)=1/(x^2+x+1)
Devo sviluppare questo in serie
E la soluzione é
Σ(da n=0 a +∞) an * x^n
Con
an= 1 se n=0,3,6....
an= -1 se n=1,4,7...
an=0 se n=2,5,8...
Qualcuno riesce a capire come devo procedere? Sto impazzendo
Grazie
!
Devo sviluppare questo in serie
E la soluzione é
Σ(da n=0 a +∞) an * x^n
Con
an= 1 se n=0,3,6....
an= -1 se n=1,4,7...
an=0 se n=2,5,8...
Qualcuno riesce a capire come devo procedere? Sto impazzendo
Grazie
!
Risposte
Sviluppo in serie centrato in \(0\), immagino... Cosa hai tentato finora?
Si esatto centrato in 0. Ho cercato di rifarmi a 1/(1-x) ma non mi viene il risultato scritto dal prof. Altre idee no ho avuto
Beh, è del tutto normale che tu non ci sia riuscito.
Per fare una cosa del genere dovresti operare nel campo complesso.
Hai provato a calcolare esplicitamente i coefficienti di Taylor usando le derivate?
Per fare una cosa del genere dovresti operare nel campo complesso.
Hai provato a calcolare esplicitamente i coefficienti di Taylor usando le derivate?
No, anche xché da quanto vedo mi mancano dei pezzi di teoria. Potresti spiegarmi cosa dovrei fare? Xché non ho proprio idea di come si possa esprimere questa funzione in forma di una sommatoria.
"albisiervo":
No, anche xché da quanto vedo mi mancano dei pezzi di teoria.
Bene.
Allora l'unica cosa da fare è aprire il libro e studiare ciò che ti manca.
"albisiervo":
Potresti spiegarmi cosa dovrei fare? Xché non ho proprio idea di come si possa esprimere questa funzione in forma di una sommatoria.
Ci sono due modi: o ti calcoli esplicitamente i coefficienti di Taylor, oppure cerchi di ricondurti a sviluppi in serie noti.
Nel primo caso, devi cercare di esprimere le derivate \(f^{(n)}(x)\) in una forma conveniente e, per fare ciò, devi calcolare esplicitamente tre/quattro derivate e cercare di intuire nel caso generale cosa possa mai venir fuori.
Nel secondo caso, che è praticabile se hai conoscenze di base di Analisi Complessa, si tratta di scomporre la tua funzione razionale in fratti semplici ed usare la serie geometrica.
Dato che non so cosa tu sappia di questi argomenti, più di questo non posso dirti... Anche perché correrei il rischi di postare uno svolgimento che tu non capiresti e perderemmo entrambi solo del tempo.
Proprio per ovviare a questi inconvenienti, è richiesto che gli utenti propongano dei loro tentativi di soluzione, così ci si può lavorare insieme.
Hai perfettamente ragione, solo che sul libro di testo di analisi I purtroppo c'é scritto poco o nulla.
Avrei messo una proposta su come farlo, ma purtroppo, non so proprio come ci si possa arrivare. Il prof ha solo schiaffato li la soluzione.
Noi siamo arrivati al termine del programma di analisi I quindi analisi complessa non l'abbiamo ancora fatta.
Ho cercato di ricondurmi ad una funzione che so scomporre come 1/(1-x) ma purtroppo senza alcun successo
E non saprei che altre strade percorrere xché a lezione non ne abbiamo viste altre. Non mi viene in mente nessun'altra serie a cui rifarsi.
Avrei messo una proposta su come farlo, ma purtroppo, non so proprio come ci si possa arrivare. Il prof ha solo schiaffato li la soluzione.
Noi siamo arrivati al termine del programma di analisi I quindi analisi complessa non l'abbiamo ancora fatta.
Ho cercato di ricondurmi ad una funzione che so scomporre come 1/(1-x) ma purtroppo senza alcun successo
E non saprei che altre strade percorrere xché a lezione non ne abbiamo viste altre. Non mi viene in mente nessun'altra serie a cui rifarsi.
Ciao albisiervo
forse ho trovato un modo per risolvere l'esercizio. Si tratta di un metodo generico per trovare la serie di Taylor quando hai funzioni tipo la tua. Il procedimento è il seguente: tu vuoi sviluppare $ f(x)=1/(x^2+x+1) $, ovvero vuoi ottenere un'uguaglianza del tipo $ 1/(x^2+x+1)=a_0+a_1x+a_2x^2+..... $. Quindi moltiplicando per il denominatore il 2° membro avrai: $ 1=a_0(x^2+x+1)+a_1(x^3+x^2+x)+a_2(x^4+x^3+x^2)+.......=a_0+x(a_0+a_1)+x^2(a_0+a_1+a_2)+x^3(a_1+a_2_+a_3)+... $
Adesso usi il principio d'identità dei polinomi e ottieni che $ c_0=1, c_1=-1,c_2=0, c_3=1, c_4=-1, c_5=0 $. Come vedi i coefficienti si ripetono ogni tre interi. Seguono le classi di resto di $ 3 $ ed è per questo che per $ n=0,3,6,9,... $ avrai sempre $ 1 $, per $ n= 1,4,7,10,... $ avrai $ -1 $ e infine per $ n=2,8,11,... $ avrai $ 0 $.
Se non ti è chiaro qualcosa fammelo sapere.
Ciao!
forse ho trovato un modo per risolvere l'esercizio. Si tratta di un metodo generico per trovare la serie di Taylor quando hai funzioni tipo la tua. Il procedimento è il seguente: tu vuoi sviluppare $ f(x)=1/(x^2+x+1) $, ovvero vuoi ottenere un'uguaglianza del tipo $ 1/(x^2+x+1)=a_0+a_1x+a_2x^2+..... $. Quindi moltiplicando per il denominatore il 2° membro avrai: $ 1=a_0(x^2+x+1)+a_1(x^3+x^2+x)+a_2(x^4+x^3+x^2)+.......=a_0+x(a_0+a_1)+x^2(a_0+a_1+a_2)+x^3(a_1+a_2_+a_3)+... $
Adesso usi il principio d'identità dei polinomi e ottieni che $ c_0=1, c_1=-1,c_2=0, c_3=1, c_4=-1, c_5=0 $. Come vedi i coefficienti si ripetono ogni tre interi. Seguono le classi di resto di $ 3 $ ed è per questo che per $ n=0,3,6,9,... $ avrai sempre $ 1 $, per $ n= 1,4,7,10,... $ avrai $ -1 $ e infine per $ n=2,8,11,... $ avrai $ 0 $.
Se non ti è chiaro qualcosa fammelo sapere.
Ciao!
Scusa la mia ignoranza ma non ho capito come hai trovato co, ecc.
Che passaggi hai fatto?
E cmq grazie 1000!!!!
Che passaggi hai fatto
?E cmq grazie 1000!!!!
@Albisiervo.
C'è pure modo di scrivere quella funzione razionale fratta come somma d'una serie di potenze di centro diverso da $0$,
basandosi "solo" sul fatto,noto dalla teoria delle serie numeriche,che
$sum_(n=0)^(+oo)(-y^2)^n=1/(1-(-y^2))=1/(1+y^2)$ $AA y in(-1,1)$:
se t'interessa fa un fischio .
Saluti dal web.
C'è pure modo di scrivere quella funzione razionale fratta come somma d'una serie di potenze di centro diverso da $0$,
basandosi "solo" sul fatto,noto dalla teoria delle serie numeriche,che
$sum_(n=0)^(+oo)(-y^2)^n=1/(1-(-y^2))=1/(1+y^2)$ $AA y in(-1,1)$:
se t'interessa fa un fischio
.Saluti dal web.
Ciao albisiervo
scusa errore mio di battitura. I $ c_i $ sono degli $ a_i $.
scusa errore mio di battitura. I $ c_i $ sono degli $ a_i $.
@theras
Era quello che volevo fare io ma non riesco! E poi con quella soluzione il prof mi ha spiazzato
Come si fa?
Grazie!
Era quello che volevo fare io ma non riesco! E poi con quella soluzione il prof mi ha spiazzato
Come si fa
?Grazie!
Beh,osserva che $1/(x^2+x+1)=1/((x+1/2)^2+3/4)=1/(3/4[4/3(x+1/2)^2+1])=4/3*1/([2/(sqrt(3))(x+1/2)]^2+1)$ $AA x in RR$:
a quel punto vedi in un primo momento se,a meno del fattor comune $4/3$,riesci a trovare una successione ${a_n}_(n in NN)$ che ti permetta di scrivere $sum_(n=0)^(+oo)(-4/3)^n[x-(-1/2)]^(2n)$ sotto la forma richiesta,
e poi prova ad aggiustare le cose tenendo conto della presenza di quel fattore comune inizialmente "trascurato" .
Saluti dal web.
a quel punto vedi in un primo momento se,a meno del fattor comune $4/3$,riesci a trovare una successione ${a_n}_(n in NN)$ che ti permetta di scrivere $sum_(n=0)^(+oo)(-4/3)^n[x-(-1/2)]^(2n)$ sotto la forma richiesta,
e poi prova ad aggiustare le cose tenendo conto della presenza di quel fattore comune inizialmente "trascurato"
.Saluti dal web.
Grazie!
@ peterpan, immaginavo ma non ho capito cmq
@ peterpan, immaginavo ma non ho capito cmq
@theras
Ciao
volevo dirti se è giusto procedere in questo modo. Dato che $ 1/(x^2+x+1)=(1-x)/(1-x^3) $ e che $ sum_(n =0) ^inftyx^(3n) =1/(1-x^3) $ posso dire che $ sum_(n =0) ^inftyx^(3n+1)=-x/(1-x^3) $ e quindi $ sum_(n =0) ^infty( x^(3n)-x^(3n+1))=(1-x)/(1-x^3) $ ? Ovvero che la serie di Taylor di $ 1/(x^2+x+1) $ è $ sum_(n =0) ^infty( x^(3n)-x^(3n+1)) $.
Grazie
Ciao
volevo dirti se è giusto procedere in questo modo. Dato che $ 1/(x^2+x+1)=(1-x)/(1-x^3) $ e che $ sum_(n =0) ^inftyx^(3n) =1/(1-x^3) $ posso dire che $ sum_(n =0) ^inftyx^(3n+1)=-x/(1-x^3) $ e quindi $ sum_(n =0) ^infty( x^(3n)-x^(3n+1))=(1-x)/(1-x^3) $ ? Ovvero che la serie di Taylor di $ 1/(x^2+x+1) $ è $ sum_(n =0) ^infty( x^(3n)-x^(3n+1)) $.
Grazie
Anche il mio prof ha fatto quella scomposizione al secondo passaggio. Come ci si arriva?
Ciao albisiervo
Provo a scrivertelo in modo un pò più chiaro. Allora il tuo scopo è scrivere la serie di Taylor di $ 1/(x^2+x+1) $ ossia un polinomio che parte dal grado 0 fino ad infinito. Supponi di averlo trovato. Avrai un'uguaglianza del tipo $ 1/(x^2+x+1)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+....+c_nx^n $. I $ c_i $ sono ciò che ti manca di sapere. Moltiplica il secondo membro dell'equazione per $ x^2+x+1 $ e raccogli le potenze di $ x $ in ordine crescente da 0 in poi. Ora usi il principio d'identità dei polinomi ossia i coefficienti dei monomi del primo membro devono essere uguali ai coefficienti di quello a secondo membro. Quindi hai che $ c_0=1,c_1=-1,c_2=0,c_3=1,c_4=-1,c_5=0,.. $. Come vedi i coefficienti con $ n $ multiplo di 3 come 0,3,6,9,.. hanno sempre valore 1. Quelli con $ n $ diviso per 3 danno resto 1 (come 1,4,7,10,...) hanno sempre valore -1 e infine quelli che divisi per 3 danno resto 2 (8,11,14,17,..) hanno sempre valore 0.
Prova a rifare i calcoli con tanti $ c_i $ e ti accorgerai della periodicità. Fammi sapere se qualcosa non ti torna.
Ciao!
Provo a scrivertelo in modo un pò più chiaro. Allora il tuo scopo è scrivere la serie di Taylor di $ 1/(x^2+x+1) $ ossia un polinomio che parte dal grado 0 fino ad infinito. Supponi di averlo trovato. Avrai un'uguaglianza del tipo $ 1/(x^2+x+1)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+....+c_nx^n $. I $ c_i $ sono ciò che ti manca di sapere. Moltiplica il secondo membro dell'equazione per $ x^2+x+1 $ e raccogli le potenze di $ x $ in ordine crescente da 0 in poi. Ora usi il principio d'identità dei polinomi ossia i coefficienti dei monomi del primo membro devono essere uguali ai coefficienti di quello a secondo membro. Quindi hai che $ c_0=1,c_1=-1,c_2=0,c_3=1,c_4=-1,c_5=0,.. $. Come vedi i coefficienti con $ n $ multiplo di 3 come 0,3,6,9,.. hanno sempre valore 1. Quelli con $ n $ diviso per 3 danno resto 1 (come 1,4,7,10,...) hanno sempre valore -1 e infine quelli che divisi per 3 danno resto 2 (8,11,14,17,..) hanno sempre valore 0.
Prova a rifare i calcoli con tanti $ c_i $ e ti accorgerai della periodicità. Fammi sapere se qualcosa non ti torna.
Ciao!
La scomposizione deriva dal fatto che $ (x^2+x+1)(1-x)=(1-x^3) $ quindi $ 1/(x^2+x+1)=(1-x)/(1-x^3) $.
La scomposizione è una differenza di cubi e si ottiene sempre così: $ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $
La scomposizione è una differenza di cubi e si ottiene sempre così: $ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $
Grazie 1000! Troppo gentile
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