Sviluppo in serie di f(x)= cos^2(x)
Devo sviluppare in serie f(x)=cos^2(x)
Sono arrivato a dire che cos^2(x)= 1/2 +Σ(da k=0 a + inf) (-1)^k*2^(2k-1)/(2k)!*x^(2k)
Poi il prof però dice che questo é uguale a Σ an x^n
Con an= 0 se n=1,3,5...
an= 1 se n=0
an=(-1)^(n/2)*2^(n-1)/n! Se n=2,4,6....
Qualcuno mi riesce a dire xché é cosi e come ci si arriva?
Grazie
!!!!
Sono arrivato a dire che cos^2(x)= 1/2 +Σ(da k=0 a + inf) (-1)^k*2^(2k-1)/(2k)!*x^(2k)
Poi il prof però dice che questo é uguale a Σ an x^n
Con an= 0 se n=1,3,5...
an= 1 se n=0
an=(-1)^(n/2)*2^(n-1)/n! Se n=2,4,6....
Qualcuno mi riesce a dire xché é cosi e come ci si arriva?
Grazie
!!!!
Risposte
Ciao albisiervo
Per trovare lo sviluppo di $ (cosx)^2 $ ho scritto $ cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2 $. Se ne fai il quadrato torna che $ (cosx)^2=1/2+cos(2x)/2=1/2(1+cos(2x)) $.
Lo sviluppo di Taylor di $ cos(2x) $ centrato nell'origine lo ottieni facendo le derivate nel punto e dividendo per il fattoriale corrispondente. Alla fine dovrebbe tornarti $ 1/2+1/2sum_(n =0) ^infty(-1)^n2^(2n)x^(2n)/((2n)!)=1/2+sum_(n =0) ^infty(-1)^n2^(2n-1)x^(2n)/((2n)!) $. Per $ n=0 $ ottengo $ 1/2 $ che sommato a quello fuori dà $ 1 $. Per $ n!=0 $ ottieni il resto.
Il fatto che ci siano i $ 2n $ è dovuto alla parità della funzione che fa rimanere nello sviluppo solo le potenze pari e quindi gli $ a_n $ con n dispari sono tutti nulli.
Se non ti è chiaro qualcosa scrivi pure.
Ciao!
Per trovare lo sviluppo di $ (cosx)^2 $ ho scritto $ cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2 $. Se ne fai il quadrato torna che $ (cosx)^2=1/2+cos(2x)/2=1/2(1+cos(2x)) $.
Lo sviluppo di Taylor di $ cos(2x) $ centrato nell'origine lo ottieni facendo le derivate nel punto e dividendo per il fattoriale corrispondente. Alla fine dovrebbe tornarti $ 1/2+1/2sum_(n =0) ^infty(-1)^n2^(2n)x^(2n)/((2n)!)=1/2+sum_(n =0) ^infty(-1)^n2^(2n-1)x^(2n)/((2n)!) $. Per $ n=0 $ ottengo $ 1/2 $ che sommato a quello fuori dà $ 1 $. Per $ n!=0 $ ottieni il resto.
Il fatto che ci siano i $ 2n $ è dovuto alla parità della funzione che fa rimanere nello sviluppo solo le potenze pari e quindi gli $ a_n $ con n dispari sono tutti nulli.
Se non ti è chiaro qualcosa scrivi pure.
Ciao!
Credo di non avere capito bene. Io facendo ad esempio la sommatoria da 0 a 0 o da 0 ad 1 non ho i risultati detti da te. Dove sbaglio 
?
Poi ti volevo chiedere un'altra cosa, la seconda parte dell'esercizio mi chiede poi di calcolare il valore della derivata 30esima
In x=0
F(30)(0)=?
Sai come dovrei agire per caso?
E grazie molte per la tua risposta!
?Poi ti volevo chiedere un'altra cosa, la seconda parte dell'esercizio mi chiede poi di calcolare il valore della derivata 30esima
In x=0
F(30)(0)=?
Sai come dovrei agire per caso?
E grazie molte per la tua risposta!
Ciao albisiervo
Rispondo intanto alla tua seconda domanda sulla derivata trentesima della funzione calcolata in $ 0 $. Tu sai che un generico coefficiente del polinomio di Taylor si scrive come $ (f^(n)(0))/(n!)x^n $. Il 30° coefficiente di questa serie è quindi $(f^(30)(0))/(30!)x^30 $. Perciò quello che devi fare è eguagliare questo termine con il coefficiente di $ x^30 $ della serie particolare che tu hai, ossia (ho chiamato $ alpha $ il coefficiente della serie particolare) $ (f^30(0))/(30!)=alpha rArr f^30(0)=alpha(30!) $.
Per la prima domanda ci sto lavorando. Chiedi pure se qualcosa non è chiaro.
Ciao!
Rispondo intanto alla tua seconda domanda sulla derivata trentesima della funzione calcolata in $ 0 $. Tu sai che un generico coefficiente del polinomio di Taylor si scrive come $ (f^(n)(0))/(n!)x^n $. Il 30° coefficiente di questa serie è quindi $(f^(30)(0))/(30!)x^30 $. Perciò quello che devi fare è eguagliare questo termine con il coefficiente di $ x^30 $ della serie particolare che tu hai, ossia (ho chiamato $ alpha $ il coefficiente della serie particolare) $ (f^30(0))/(30!)=alpha rArr f^30(0)=alpha(30!) $.
Per la prima domanda ci sto lavorando. Chiedi pure se qualcosa non è chiaro.
Ciao!
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