Sviluppo in serie di Fourier
Salve sono alle prese con un esercizio che non ho mai svolto (è il primo che faccio) mi chiede di calcolare lo sviluppo in serie di Fourie fino a $m=2$ della funzione $f(x)={( 0,-\pi
Un mio primo tentativi è questo parto dallo scrivere le relazioni che mi servono
$f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_0 + (a_kcoskx+b_ksenkx)$
i coefficienti si calcolano in questo modo $a_k=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x)coskx dx$, $b_k=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x)senkx dx$ ed
$a_0=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x) dx$ ma adesso tutto questo come lo applico??? qualcuno mi può dare una mano????
Un mio primo tentativi è questo parto dallo scrivere le relazioni che mi servono
$f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_0 + (a_kcoskx+b_ksenkx)$
i coefficienti si calcolano in questo modo $a_k=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x)coskx dx$, $b_k=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x)senkx dx$ ed
$a_0=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x) dx$ ma adesso tutto questo come lo applico??? qualcuno mi può dare una mano????
Risposte
Intanto puoi calcolare i coefficienti di questa $f(x)$ ...
Semplicemente:
$a_0 = 1/pi \int_0^pi dx$
$a_k = 1/pi \int_0^pi cos(kx)dx$
... e avanti con i $b_k$ .
P.S. Guarda bene lo sviluppo in serie di Fourier; non è proprio quello che hai scritto.
Semplicemente:
$a_0 = 1/pi \int_0^pi dx$
$a_k = 1/pi \int_0^pi cos(kx)dx$
... e avanti con i $b_k$ .
P.S. Guarda bene lo sviluppo in serie di Fourier; non è proprio quello che hai scritto.
Dove ho sbagliato ??? non me ne rendo conto...
Se scrivi i coefficienti in quel modo...
$f(x) = a_0/2 + \sum_{k=1}^\infty [a_kcos(kx) + b_ksen(kx)]$
$f(x) = a_0/2 + \sum_{k=1}^\infty [a_kcos(kx) + b_ksen(kx)]$
Ok allora se scrivo i coefficienti in questo modo $a_k=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x)coskx dx$, $b_k=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x)senkx dx$ ed
$a_0=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x) dx$ lo sviluppo in serie si scrive così $f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_0/2 + (a_kcoskx+b_ksenkx)$ altrimenti se i coefficienti li scrivo così $a_k=1/\pi\int_0^\pi f(x)coskx dx$, $b_k=1/\pi\int_0^\pi f(x)senkx dx$ ed $a_0=1/\pi\int_0^\pi f(x) dx$ lo sviluppo sarà così $f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_0 + (a_kcoskx+b_ksenkx)$ giusto???? Ma la mia difficoltà sta anche nello impostare lo svolgimento dell' integrale di una parentesi graffa come devo fare????
$a_0=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x) dx$ lo sviluppo in serie si scrive così $f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_0/2 + (a_kcoskx+b_ksenkx)$ altrimenti se i coefficienti li scrivo così $a_k=1/\pi\int_0^\pi f(x)coskx dx$, $b_k=1/\pi\int_0^\pi f(x)senkx dx$ ed $a_0=1/\pi\int_0^\pi f(x) dx$ lo sviluppo sarà così $f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_0 + (a_kcoskx+b_ksenkx)$ giusto???? Ma la mia difficoltà sta anche nello impostare lo svolgimento dell' integrale di una parentesi graffa come devo fare????
No...
Utilizzando la scrittura con $a_0/2$ , il coefficiente $a_0$ ha come costante di normalizzazione $1/pi$ .
Utilizzando direttamente $a_0$ , il coefficiente $a_0$ ha come costante di normalizzazione $1/(2pi)$ .
Semplicemente stai portando il fattore $2$ che divideva $a_0$ direttamente all'integrale.
Le due scritture portano allo stesso risultato, ovviamente.
Non cambia nulla negli estremi di integrazione... che rimangono $-pi,pi$ nel caso di $f(x)$ con periodo $2pi$ .
Integrale di una parentesi graffa ?
La tua $f(x)$ vale 0 in $(-pi, 0]$ ... dunque in quell'intervallo non occorre calcolare l'integrale... che appunto si restringe all'unico intervallo in cui la tua $f(x)$ esiste, ovvero $(0, pi]$ , dove vale $1$.
Utilizzando la scrittura con $a_0/2$ , il coefficiente $a_0$ ha come costante di normalizzazione $1/pi$ .
Utilizzando direttamente $a_0$ , il coefficiente $a_0$ ha come costante di normalizzazione $1/(2pi)$ .
Semplicemente stai portando il fattore $2$ che divideva $a_0$ direttamente all'integrale.
Le due scritture portano allo stesso risultato, ovviamente.
Non cambia nulla negli estremi di integrazione... che rimangono $-pi,pi$ nel caso di $f(x)$ con periodo $2pi$ .
Integrale di una parentesi graffa ?
La tua $f(x)$ vale 0 in $(-pi, 0]$ ... dunque in quell'intervallo non occorre calcolare l'integrale... che appunto si restringe all'unico intervallo in cui la tua $f(x)$ esiste, ovvero $(0, pi]$ , dove vale $1$.
Quindi l' unica cosa che cambia $a_0/2=1/\pi\int_-\pi^\pi f(x) dx$ altrimenti $a_0=1/(2\pi\)int_-\pi^\pi f(x) dx$ mentre ai coefficienti $a_k$ e $b_k$ non cambia niente??? Ok???
Scusami puoi postarmi lo svolgimento dell' esercizio passo passo, almeno per capire come muovermi??? magari dopo ne posto un' altro di esercizio svolto da me per capire se l' ho svolto bene
Scusami puoi postarmi lo svolgimento dell' esercizio passo passo, almeno per capire come muovermi??? magari dopo ne posto un' altro di esercizio svolto da me per capire se l' ho svolto bene
Proprio così.
Svolgimento:
$a_0 = 1/(2pi) \int_-pi^pi f(x) dx = 1/(2pi)\int_0^pi dx = 1/2$
$a_k = 1/pi \int_-pi^pi f(x)cos(nx) dx = 1/pi \int_0^pi cos(nx) dx = (1/n)sin(nx)|_(x=0)^(x=pi) = 0$
$b_k = 1/pi \int_-pi^pi f(x)sin(nx) dx = 1/pi \int_0^pi sin(nx) dx = (1/n)(-cos(nx))|_(x=0)^(x=pi) = (1/(npi))((-1)^(n+1)+1)$
... e dunque:
$f(x) = 1/2 + \sum_(n=1)^oo (((-1)^(n+1)+1)/(npi))sin(nx)$
Se hai altri dubbi, chiedi pure...
Svolgimento:
$a_0 = 1/(2pi) \int_-pi^pi f(x) dx = 1/(2pi)\int_0^pi dx = 1/2$
$a_k = 1/pi \int_-pi^pi f(x)cos(nx) dx = 1/pi \int_0^pi cos(nx) dx = (1/n)sin(nx)|_(x=0)^(x=pi) = 0$
$b_k = 1/pi \int_-pi^pi f(x)sin(nx) dx = 1/pi \int_0^pi sin(nx) dx = (1/n)(-cos(nx))|_(x=0)^(x=pi) = (1/(npi))((-1)^(n+1)+1)$
... e dunque:
$f(x) = 1/2 + \sum_(n=1)^oo (((-1)^(n+1)+1)/(npi))sin(nx)$
Se hai altri dubbi, chiedi pure...
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