Sviluppo in serie di Fourier
So che forse chiedo troppo, ma mi servirebbe avere lo sviluppo in serie di Fourier della funzione di periodo 2 pi greco la cui restrizione nell'intervallo [-pi greco, pi greco] è f(x) = 3X^3.
Magari qualcuno ce l'ha già risolto... o almeno spero in qualche aiutino.
Grazie a tutti!!!
Magari qualcuno ce l'ha già risolto... o almeno spero in qualche aiutino.
Grazie a tutti!!!
Risposte
nessun aiuto? 
Beh, ci sono almeno due modi diversi per ottenere il risultato.
Il primo è quello di calcolare esplicitamente gli integrali [tex]$c_n:=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-\jmath nx}\ \rm{d} x$[/tex] che forniscono i coefficienti della serie di Fourier complessa [tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ e^{\jmath nx}$[/tex] (oppure gli integrali [tex]$a_n:=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx\ \rm{d} x$[/tex], [tex]$b_n:=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx\ \rm{d} x$[/tex] che forniscono i coefficienti della serie di Fourier trigonometrica [tex]$\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{^+\infty} a_n\cos nx +b_n\sin nx$[/tex]).
Nel tuo caso, questi integrali si svolgono tutti per parti prendendo come fattore finito [tex]$f(x)=3x^3$[/tex]; in più gli integrali in coseno sono certamente tutti nulli, giacché la funzione [tex]$f(x)$[/tex] è dispari.
Il secondo è quello di leggere il tutto in ambito distribuzionale, ottenere la trasformata di Fourier mediante derivazione e calcolare la serie di Fourier col Teorema di campionamento.
Ovviamente tutto dipende dagli strumenti che hai a disposizione.
Il primo è quello di calcolare esplicitamente gli integrali [tex]$c_n:=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-\jmath nx}\ \rm{d} x$[/tex] che forniscono i coefficienti della serie di Fourier complessa [tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ e^{\jmath nx}$[/tex] (oppure gli integrali [tex]$a_n:=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx\ \rm{d} x$[/tex], [tex]$b_n:=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx\ \rm{d} x$[/tex] che forniscono i coefficienti della serie di Fourier trigonometrica [tex]$\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{^+\infty} a_n\cos nx +b_n\sin nx$[/tex]).
Nel tuo caso, questi integrali si svolgono tutti per parti prendendo come fattore finito [tex]$f(x)=3x^3$[/tex]; in più gli integrali in coseno sono certamente tutti nulli, giacché la funzione [tex]$f(x)$[/tex] è dispari.
Il secondo è quello di leggere il tutto in ambito distribuzionale, ottenere la trasformata di Fourier mediante derivazione e calcolare la serie di Fourier col Teorema di campionamento.
Ovviamente tutto dipende dagli strumenti che hai a disposizione.
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