Sviluppo in serie di fourier
Ciao a tutti,
mi potreste aiutare?
Ecco l'esercizio:
Sviluppare in serie di Fourier la funzione $f(x)=x$ per $x in [0,pi)$
Allora io imposto cosi:
Dato che y=x è una funzione dispari abbiamo solo una funzione di seni.
Quindi:
$a_n= 2/pi * int( f(x) * sin(nx) dx,0,pi)$ "integrale tra 0 e pigreco"
Il risultato pero finale non mi torna....
mi potreste aiutare?
Ecco l'esercizio:
Sviluppare in serie di Fourier la funzione $f(x)=x$ per $x in [0,pi)$
Allora io imposto cosi:
Dato che y=x è una funzione dispari abbiamo solo una funzione di seni.
Quindi:
$a_n= 2/pi * int( f(x) * sin(nx) dx,0,pi)$ "integrale tra 0 e pigreco"
Il risultato pero finale non mi torna....
Risposte
Che $f$ sia una funzione dispari è da vedere... Voglio dire, la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = x$ è dispari, ma la tua funzione è definita su $[0, \pi)$, ed è dispari solo se prima è estesa a $[-\pi, \pi)$ per disparità, e poi ad $\mathbb{R}$ per $2 \pi$-periodicità, ma da quanto detto non mi sembra questo il caso.
Come dovrei fare quindi?
P.S.La funzione è periodica di periodo pigreco
P.S.La funzione è periodica di periodo pigreco
Il periodo in questo caso è $\pi$, la funzione $f$ è a quadrato sommabile, pertanto si può sviluppare in serie di soli seni e coseni come
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(2 n x) + b_n \sin(2 n x)$
dove
$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x dx$
$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \cos(2 n x) dx$
$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \sin(2 n x) dx$
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(2 n x) + b_n \sin(2 n x)$
dove
$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x dx$
$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \cos(2 n x) dx$
$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \sin(2 n x) dx$
Quindi scusami quali sarebbero le formule generali di an e bn?????
Ciao.
Ciao.
Se $f$ è una funzione $T$ periodica (supponiamo sia definita inizialmente in $[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2})$, e che sia poi estesa ad $\mathbb{R}$ per $T$-periodicità), la serie di Fourier generata da $f$ è
$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(\frac{2 \pi}{T} n x) + b_n \sin(\frac{2 \pi}{T} n x)$
dove
$a_0 = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx$
$a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(\frac{2 \pi}{T} n x) dx$
$b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(\frac{2 \pi}{T} n x) dx$
$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(\frac{2 \pi}{T} n x) + b_n \sin(\frac{2 \pi}{T} n x)$
dove
$a_0 = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx$
$a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(\frac{2 \pi}{T} n x) dx$
$b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(\frac{2 \pi}{T} n x) dx$
Ti ringrazio adesso le provero'.
Ciao.
Ciao.
Scusa ma se nelle formule generali l'integrale è tra $T/2$ e $-T/2$ perche hai scritto l'integrale tra $0$ e $pi$?
Non dovrebbe essere tra $-pi/2$ e $pi/2$?
Non dovrebbe essere tra $-pi/2$ e $pi/2$?
Perché nelle formule generali ho supposto la funzione definita fra $-\frac{T}{2}$ e $\frac{T}{2}$, la tua invece è definita fra $0$ e $\pi$.
Volendo puoi anche integrare fra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, quello che conta è integrare su un periodo. Ma in questo caso devi stare attento a come scrivi la funzione.
Scusami un altra cosa:
Ho trovato delle formule che sono:
dato l'intervallo (a,b) di periodo T=(b-a):
$a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(\frac{2 \pi}{T} n (x-a)) dx$
$b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(\frac{2 \pi}{T} n (x-a)) dx$
Quel meno a ci deve essere?
La formula l'ho trovata qua:http://www.gmsl.it/mathweb/fourier/fourier.htm
Ho trovato delle formule che sono:
dato l'intervallo (a,b) di periodo T=(b-a):
$a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(\frac{2 \pi}{T} n (x-a)) dx$
$b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(\frac{2 \pi}{T} n (x-a)) dx$
Quel meno a ci deve essere?
La formula l'ho trovata qua:http://www.gmsl.it/mathweb/fourier/fourier.htm
Quell'$x-a$ serve a centrare seno e coseno in $x=a$, per evitare confusione però io le scriverei così
$a_n = \frac{2}{b-a} \int_a^b f(x) \cos(\frac{2 \pi}{b-a} n x) dx$
stessa cosa per $b_n$.
$a_n = \frac{2}{b-a} \int_a^b f(x) \cos(\frac{2 \pi}{b-a} n x) dx$
stessa cosa per $b_n$.
Ora che ho visitato il link, penso proprio che metta $x-a$ nell'integrale perché usa lo stesso argomento nello sviluppo di Fourier.
Guardando quelle formule inoltre al posto di moltiplicare per $2/(b-a)$ poi moltiplica per $1/(b-a)$...è valida la prima in tutti i casi?
Quindi se non ho capito male quell' $x-a$ non lo devo mai scrivere nella formula oppure in questo caso non ci va perche l'intervallo è $[0,pi$] e quindi $a=0$?
Grazie ancora.
Quindi se non ho capito male quell' $x-a$ non lo devo mai scrivere nella formula oppure in questo caso non ci va perche l'intervallo è $[0,pi$] e quindi $a=0$?
Grazie ancora.
"pmic":
Quindi se non ho capito male quell' $x-a$ non lo devo mai scrivere nella formula oppure in questo caso non ci va perche l'intervallo è $[0,pi$] e quindi $a=0$?
Allora x-a è superfluo basta che non lo metto quando cerco $a_n$ e nello sviluppo giusto?
Per quanto riguarda l'altra domanda?
Io prima di dare torto agli altri ci penso su, ma in questo caso mi pare proprio ci vada $\frac{2}{b-a}$...
Svolgendo l'esercizio trovo infatti che $a_n=0$ e $b_n$ mi torna solamente se moltiplico per 2....
"Tipper":
Io prima di dare torto agli altri ci penso su, ma in questo caso mi pare proprio ci vada $\frac{2}{b-a}$...
Scusa perchè dici in questo caso...?
E' valida allora quella formula secondo te?
No, perché secondo me ci va $\frac{2}{b-a}$.
Ok ti ringrazio provero' domani con gli altri esercizi.
Grazie ancora!!!!!
Grazie ancora!!!!!
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