Sviluppo in serie del binomio $(1+x)^(1/2)$
Senza usare la serie di taylor, è possibile trovare uno sviluppo in serie del binomio $(1+x)^(1/2)$?
Si dovrebbe in fin dei conti, trovare una serie che converga verso $(1+x)$, o mi sbaglio?
Si dovrebbe in fin dei conti, trovare una serie che converga verso $(1+x)$, o mi sbaglio?
Risposte
\(1 + x\) è già un polinomio, quindi una serie di Taylor che converga ad esso è banalmente \(\sum c_n x^n\) con \(c_0 = c_1 = 1\) e \(c_n = 0\) per \(n \ge 2\).
Detto ciò, non capisco come tu voglia trovare uno sviluppo in serie di Taylor senza usare gli sviluppi in serie di Taylor.
Oppure non è una serie di tipo Taylor che stai cercando?
Detto ciò, non capisco come tu voglia trovare uno sviluppo in serie di Taylor senza usare gli sviluppi in serie di Taylor.
Oppure non è una serie di tipo Taylor che stai cercando?
Si scusa ho posto male la domanda, e che sto cercando di capire come funziona lo sviluppo in serie di taylor, l'applicazione della formula in fin dei conti è semplice, solo che non capisco la dimostrazione. Sviluppando $(1+x)^(1/2)=1+(1/2)x - (1/8)x^2+....$, mi chiedevo se faccio il quadrato di questa somma algebrica , considerando sempre un maggior numero di termini della serie, non dovrei avvicinarmi sempre più al risultato $(1+x)$?
La cosa che mi lascia perplesso e che presa una funzione derivabile, che possieda infinite derivate, cioè $f'(x),f''(x),...f^n(x),.......$ posso costruire la serie di taylor della funzione $f(x)$, mi chiedevo se una funzione potrebbe non essere uguale alla sua serie di taylor, o mi sbaglio?
La cosa che mi lascia perplesso e che presa una funzione derivabile, che possieda infinite derivate, cioè $f'(x),f''(x),...f^n(x),.......$ posso costruire la serie di taylor della funzione $f(x)$, mi chiedevo se una funzione potrebbe non essere uguale alla sua serie di taylor, o mi sbaglio?
"francicko":
Si scusa ho posto male la domanda, e che sto cercando di capire come funziona lo sviluppo in serie di taylor, l'applicazione della formula in fin dei conti è semplice, solo che non capisco la dimostrazione. Sviluppando $(1+x)^(1/2)=1+(1/2)x - (1/8)x^2+....$, mi chiedevo se faccio il quadrato di questa somma algebrica , considerando sempre un maggior numero di termini della serie, non dovrei avvicinarmi sempre più al risultato $(1+x)$?
Infatti è così:
elevando al quadrato è subito evidente, ad esempio i termini alla seconda sono $1/4x^2-1/8x^2-1/8x^2=0$ cioè non ci sono. Rimane solo $1+x$.
La cosa che mi lascia perplesso e che presa una funzione derivabile, che possieda infinite derivate, cioè $f'(x),f''(x),...f^n(x),.......$ posso costruire la serie di taylor della funzione $f(x)$, mi chiedevo se una funzione potrebbe non essere uguale alla sua serie di taylor, o mi sbaglio?
Le serie di Taylor hanno un raggio di convergenza non convergono su tutto $RR$ di solito.
Grazie per le risposte!
Nel caso specifico quale criterio di convergenza potrei usare al fine di stabilire con certezza che la somma algebrica della serie al quadrato si approssima ad $(1+x)$?
Nel caso specifico quale criterio di convergenza potrei usare al fine di stabilire con certezza che la somma algebrica della serie al quadrato si approssima ad $(1+x)$?
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