SVILUPPO IN SERIE

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Ciao ragazzi ho qualche difficoltà anche in casi particolari di sviluppi in serie di potenze come il seguente:


Si sviluppi in serie di potenze di centro x=3 la funzione

$f(x)=sin(3x-9)+(2x+1)/(6x+1)$

Grazie ancora

[gugo82]

"xml86":Ciao ragazzi ho qualche difficoltà anche in casi particolari di sviluppi in serie di potenze come il seguente:


Si sviluppi in serie di potenze di centro x=3 la funzione

(*) $quad f(x)=sin(3x-9)+(2x+1)/(6x+1)$

Grazie ancora

La funzione $f$ è, dove definita, somma di funzioni analitiche: visto che $3$ fa parte dell'insieme di definizione di $f$ (che è l'aperto $RR-{-1/6}$), si può effettivamente determinare la sviluppo in serie di Taylor con centro in $3$ di $f$.
Notando che lo sviluppo cercato deve essere la somma dei due sviluppi degli addendi del secondo membro di (*), possiamo procedere determinando prima lo sviluppo di $sin(3x-9)$, poi quello di $(2x+1)/(6x+1)$ ed infine sommando i risultati.

Abbiamo $siny=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/((2n+1)!)y^(2n+1)$; d'altra parte è $sin(3x-9)=sin(3(x-3))$, onde sostituendo $y=3(x-3)$ nello sviluppo precedente troviamo:

1) $quad sin(3x-9)=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n(3^(2n+1))/((2n+1)!)(x-3)^(2n+1) quad$,

con l'uguaglianza valida per ogni $x in RR$.

Analizziamo le funzione $(2x+1)/(6x+1)$: scrivendo $1=1/3+2/3$ al numeratore e ricordando che $2x+1/3=1/3(6x+1)$, riusciamo a scrivere $(2x+1)/(6x+1)=1/3+2/3*1/(6x+1)$; l'addendo non costante che figura al secondo membro dell'ultima uguaglianza è molto simile alla somma di una serie geometrica: dato che cerchiamo lo sviluppo della funzione $(2x+1)/(6x+1)$ centrato in $3$, se vogliamo ricondurci ad una serie geometrica dobbiamo far apparire come ragione un multiplo del binomio $x-3$. Abbiamo:

$2/3*1/(6x+1)=2/3*1/(6x-18+19)=2/3*1/(6(x-3)+19)=2/3*1/(1+6/19(x-3))$

e ricordata la nota formula per la somma della serie geometrica alternata $\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n(lambda)^n=1/(1+lambda)$, possiamo scrivere l'ultimo membro della precedente come:

$2/3*1/(1+6/19(x-3))=2/3*\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n[6/19(x-3)]^n=2/3*\sum_(n=0)^(+oo)(-6/19)^n(x-3)^n$

con lo sviluppo valido per gli $x$ tali che $6/19|x-3|<1$, ossia per quegli $x in ]3-19/6,3+19/6[=]-1/6,37/6[$. Ne consegue che:

2) $quad (2x+1)/(6x+1)=1/3+2/3*\sum_(n=0)^(+oo)(-6/19)^n(x-3)^n$

con lo sviluppo valido in $]-1/6,37/6[$.

Mettendo insieme 1) e 2) possiamo scrivere: $AAx in ]-1/6, 37/6[$,

$f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n(3^(2n+1))/((2n+1)!)(x-3)^(2n+1)+1/3+2/3*\sum_(n=0)^(+oo)(-6/19)^n(x-3)^n quad$.

A questo punto ti rimane da "accorpare" i termini delle due serie in cui figura la stessa potenza di $x-3$ ed il gioco è fatto.

Buono studio.

[xml86]

Grazie gugo per l'aiuto che mi hai dato: sei stato molto chiaro.
Complimenti