Sviluppo in serie

[Plutarca]

Eccomi qua, con un altro dubbio...
Ho le funzioni $ sin (x^2) $ e $ sin x $ e devo fare lo sviluppo di taylor centrato in $ x(0)=0 $ (McLaurin per intenderci )
La prima prima funzione mi viene $ x^2 - x^5/6 + x^7/(5!) + o(x^8) $ mentre la seconda $ x - x^3/3 + x^5/5 + o(x^6) $
Confrontando cosa fa Wolfram Alpha ho notato che non mi tornano perché la prima viene $ x^2 - x^6/6 + x^10/(5!) [...] $ e la seconda viene fuori $ x-x^3/3+ x^5/(5!) + o(x^7) $
Più che altro il caso di $ sin x $ non mi torna perché Taylor di quest'ultima è $ (-1)^n/[(2n+1)!] * x^(2n+1) + o(x^(2n+2)) $ quindi di conseguenza l'o piccolo ha un grado in più dell'ultimo termine, ma secondo wolfram ha 2 gradi in più e la cosa mi fa smattare

[Noisemaker]

il primo sviluppo l'hai sbagliato:
\begin{align}
\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)\qquad\Rightarrow\qquad \sin x^2&= x^2-\frac{\left(x^2\right)^3}{3!}+\frac{\left(x^2\right)^5}{5!}+o(\left(x^2\right)^5)\\
&= x^2-\frac{ x^6 }{3!}+\frac{ x^{10}}{5!}+o( x^{10}).
\end{align}
Poi converrai con me che scrivere
\begin{align}
\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)
\end{align}
oppure
\begin{align}
\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^6)
\end{align}
o ancora
\begin{align}
\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^{122})
\end{align}
sia esattamente la stessa cosa ...

[Plutarca]

"Noisemaker":il primo sviluppo l'hai sbagliato:
\begin{align}
\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)\qquad\Rightarrow\qquad \sin x^2&= x^2-\frac{\left(x^2\right)^3}{3!}+\frac{\left(x^2\right)^5}{5!}+o(\left(x^2\right)^5)\\
&= x^2-\frac{ x^6 }{3!}+\frac{ x^{10}}{5!}+o( x^{10}).
\end{align}
Poi converrai con me che scrivere
\begin{align}
\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)
\end{align}
oppure
\begin{align}
\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^6)
\end{align}
o ancora
\begin{align}
\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^{122})
\end{align}
sia esattamente la stessa cosa ...

Mmmh... si... però questi sviluppi in serie mi servono in un limite, per cui "l'o piccolo" al grado giusto mi torna utile in quanto mi aiuta ad "eliminare" più roba possibile.