Sviluppo in serie

[francicko]

Qualcuno può fornirmi una semplice dimostrazione dello sviluppo in serie di :
$sinx= x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+...$

[Summerwind78]

Ciao
non so cosa intendi con "dimostrazione"
Basta applicare la formula generale dello sviluppo in serie di Taylor calcolato in $a=0$ ovvero
[tex]\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}[/tex]
dove con [tex]\displaystyle f^{(n)}(a)[/tex] si intende la derivata n-esima di $f(x)$ calcolata in $x=a$

[francicko]

Nel senso che a mio modesto parere, affinché si possa giustificare l'identità di cui sopra: $sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+....$, è necessario dimostrare che $sinx<=x$, $sinx>=x-x^3/(3!)$, $sinx<=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)$, $sinx>=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)$, e così via, ed essendo che per $x->infty$ di $x^n/(n!)$ $->0$ é chiaro che procedendo indefinitivamente posso ottenere dei valori sempre più approssimati al reale valore della funzione $sinx$, la domanda é:
la serie di taylor racchiude in sè queste considerazioni?
Secondo me dovrebbe, mi sbaglio?