Sviluppo in serie
Ciao a tutti, mi aiutate in quest'esercizio che non riesco a risolvere? GRAZIE infinite.
Devo sviluppare in serie la seguente funzione:
ln(x^2-3x+2) . Ho scomposto l'argomento del logaritmo, arrivando ad ottenere ln(x-1)(x-2), che scrivo come ln(1-x)(2-x), dato che sono nel dominio della serie |x|<1. Posso quindi scrivere ln(1-x)+ln(2-x) per la proprietà dei logaritmi. Raccolgo il due nel secondo termine per portarmi nella forma (1+z), arrivo quindi a ln(1-x)+ln2+ln(1-x/2). A questo punto posso scrivere le due serie, sapendo che ln(1+x) = sommatoria per n che va da 1 a + infinito di (-1)^(n+1) * (x^n)/n. Tuttavia non riesco ad arrivare al risultato del libro, che è il seguente: log2 + sommatoria per n che va da 1 a + infinito di
((2^n)+1) * x^n
------------------
n * 2^n
Chi mi aiuta ad arrivare alla fine?? Grazie infinite
Devo sviluppare in serie la seguente funzione:
ln(x^2-3x+2) . Ho scomposto l'argomento del logaritmo, arrivando ad ottenere ln(x-1)(x-2), che scrivo come ln(1-x)(2-x), dato che sono nel dominio della serie |x|<1. Posso quindi scrivere ln(1-x)+ln(2-x) per la proprietà dei logaritmi. Raccolgo il due nel secondo termine per portarmi nella forma (1+z), arrivo quindi a ln(1-x)+ln2+ln(1-x/2). A questo punto posso scrivere le due serie, sapendo che ln(1+x) = sommatoria per n che va da 1 a + infinito di (-1)^(n+1) * (x^n)/n. Tuttavia non riesco ad arrivare al risultato del libro, che è il seguente: log2 + sommatoria per n che va da 1 a + infinito di
((2^n)+1) * x^n
------------------
n * 2^n
Chi mi aiuta ad arrivare alla fine?? Grazie infinite
Risposte
azz le formule!.. metti il simbolo del dollaro all'inzio e alla fine dell'espressione matematica
Io mi trovo con $ln2-text[sommatoria ...]$. Risultato confermato da WolframAlpha.
Infatti si ha :
$ln(1+x)=Sigma_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}\cdot {x^n}/n$
Cambiando x in -x :
$ln(1-x)=Sigma_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}\cdot {(-1)^nx^n}/n=Sigma_{n=1}^{infty}(-1)^{2n+1}\cdot {x^n}/n=Sigma_{n=1}^{infty}(-1)^{2n}{-1}\cdot {x^n}/n$
Oppure :
$ln(1-x)= -Sigma_{n=1}^{infty} {x^n}/n $
Cambiando in quest'ultima formula x in x/2 si ha :
$ln(1-x/2)= -Sigma_{n=1}^{infty} {x^n}/{2^n n}$
Sostituendo nella formula iniziale, risulta :
$ln[(1-x)(1+x)]=ln2+ln(1-x)+ln(1-x/2)=ln2-Sigma_{n=1}^{infty} {x^n}/n-Sigma_{n=1}^{infty} {x^n}/{2^n n}$
Ovvero, facendo un'unica sommatoria :
$ln[(1-x)(1+x)]=ln2-Sigma_{n=1}^{infty} [{x^n}/n+ {x^n}/{2^n\cdot n}]$
Infine ,facendo i calcoli nella parentesi quadra, segue che :
$ln[(1-x)(1+x)]=ln2-Sigma_{n=1}^{infty}( {2^n+1}/{2^n\cdot n})x^n$
Infatti si ha :
$ln(1+x)=Sigma_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}\cdot {x^n}/n$
Cambiando x in -x :
$ln(1-x)=Sigma_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}\cdot {(-1)^nx^n}/n=Sigma_{n=1}^{infty}(-1)^{2n+1}\cdot {x^n}/n=Sigma_{n=1}^{infty}(-1)^{2n}{-1}\cdot {x^n}/n$
Oppure :
$ln(1-x)= -Sigma_{n=1}^{infty} {x^n}/n $
Cambiando in quest'ultima formula x in x/2 si ha :
$ln(1-x/2)= -Sigma_{n=1}^{infty} {x^n}/{2^n n}$
Sostituendo nella formula iniziale, risulta :
$ln[(1-x)(1+x)]=ln2+ln(1-x)+ln(1-x/2)=ln2-Sigma_{n=1}^{infty} {x^n}/n-Sigma_{n=1}^{infty} {x^n}/{2^n n}$
Ovvero, facendo un'unica sommatoria :
$ln[(1-x)(1+x)]=ln2-Sigma_{n=1}^{infty} [{x^n}/n+ {x^n}/{2^n\cdot n}]$
Infine ,facendo i calcoli nella parentesi quadra, segue che :
$ln[(1-x)(1+x)]=ln2-Sigma_{n=1}^{infty}( {2^n+1}/{2^n\cdot n})x^n$
Ti ringrazio infinitamente, mi mancava il fatto dell'unica sommatoria, e per di più mi ero incasinato coi calcoli! Grazie infinite, e scusate se devo ancora imparare come si scrivono le formule, ora ho imparato! 
Grazie mille a presto
Grazie mille a presto
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