Sviluppo in frazioni parziali
Salve.
Apprendo ora di una tecnica per la risoluzione di integrali. Peraltro la apprendo da un ottimo sito - almeno così a me pare - di cui indico qui il link per coloro che volessero dargli una sbirciatina.
http://www.exampleproblems.com/wiki/ind ... _Fractions
Dunque vorrei capire questo.
L'autore passa da:
$1/(x^2-1)$
a:
$A/(x-1) + B/(x+1)$
dove $A(x+1)+B(x-1)=1$
Dopodichè risolve rispetto ad A e B e trova:
$A=1/2$ imponendo: $x=1$
e:
$B=-1/2$ imponendo: $x=-1$
Ma, e questa è la mia domanda, la soluzione proposta dall'autore è una tra le infinite possibili (essendo un'equazione a due incognite). E quindi, magari non in questo caso, diventa importante, dal punto di vista della strategia più opportuna per la risoluzione dell'esercizio, determinare la "giusta" coppia di costanti A e B. Oppure mi sbaglio?
Grazie.
Apprendo ora di una tecnica per la risoluzione di integrali. Peraltro la apprendo da un ottimo sito - almeno così a me pare - di cui indico qui il link per coloro che volessero dargli una sbirciatina.
http://www.exampleproblems.com/wiki/ind ... _Fractions
Dunque vorrei capire questo.
L'autore passa da:
$1/(x^2-1)$
a:
$A/(x-1) + B/(x+1)$
dove $A(x+1)+B(x-1)=1$
Dopodichè risolve rispetto ad A e B e trova:
$A=1/2$ imponendo: $x=1$
e:
$B=-1/2$ imponendo: $x=-1$
Ma, e questa è la mia domanda, la soluzione proposta dall'autore è una tra le infinite possibili (essendo un'equazione a due incognite). E quindi, magari non in questo caso, diventa importante, dal punto di vista della strategia più opportuna per la risoluzione dell'esercizio, determinare la "giusta" coppia di costanti A e B. Oppure mi sbaglio?
Grazie.
Risposte
no i valori di A e B sono univocamente determinati:
ad esempio, seguendo il metodo del sito,
sostituendo $x=2$ si ha $3A+B=1$
mentre per $x=-2$ si ha $-A-3B=1$
le quali ovviamente sono soddisfatte solo da
$A=1/2$ e $B=-1/2$
in generale qualsiasi coppia di valori tu sostituisca alla $x$ alla fine per A e B otterrai sempre gli stessi valori.
ad esempio, seguendo il metodo del sito,
sostituendo $x=2$ si ha $3A+B=1$
mentre per $x=-2$ si ha $-A-3B=1$
le quali ovviamente sono soddisfatte solo da
$A=1/2$ e $B=-1/2$
in generale qualsiasi coppia di valori tu sostituisca alla $x$ alla fine per A e B otterrai sempre gli stessi valori.
Si, hai ragione...
... però mi sembrava un'equazione a due incognite! Cos'è che mi sfugge?
... però mi sembrava un'equazione a due incognite! Cos'è che mi sfugge?
"alfredo":
L'autore passa da:
$1/(x^2-1)$
a:
$A/(x-1) + B/(x+1)$
dove $A(x+1)+B(x-1)=1$
Dopodichè risolve rispetto ad A e B e trova:
$A=1/2$ imponendo: $x=1$
e:
$B=-1/2$ imponendo: $x=-1$
Ma, e questa è la mia domanda, la soluzione proposta dall'autore è una tra le infinite possibili (essendo un'equazione a due incognite). E quindi, magari non in questo caso, diventa importante, dal punto di vista della strategia più opportuna per la risoluzione dell'esercizio, determinare la "giusta" coppia di costanti A e B. Oppure mi sbaglio?
Grazie.
Facciamo un po' di passaggi:
$1/(x^2-1)=A/(x-1)+B/(x+1) \quad "se e solo se" \quad 1/((x-1)(x+1))=(A(x+1)+B(x-1))/((x-1)(x+1)) \quad "se e solo se"\quad 1=(A+B)x+A-B$
l'ultima espressione è un'uguaglianza di applicazioni polinomiali. Affinchè i polinomi $1=0*x+1$ ed $(A+B)*x+(A-B)$ siano uguali si deve verificare che:
(*) $\{(A+B=1),(A-B=0):}$;
questo sistema di due equazioni nelle incognite $A,B$ ha unica soluzione $A=B=1/2$, quindi:
$1/(x^2)=1/(2(x+1))+1/(2(x-1))$.
Ora, questo metodo di calcolo dei coefficienti della scomposizione di una funzione razionale fratta in fratti semplici non è forse il metodo ottimale (infatti il numero dei coefficienti e delle equazioni come le (*) aumenta col grado del denominatore ed in certi casi ti puoi trovare a risolvere sistemi in 5-6 incognite), ma almeno per iniziare va benissimo.
Grazie gugo82 per l'intervento.
Dunque, i passaggi che esponi sono chiari, e così la conclusione (il sistema). Ciò che non mi è chiaro, invece, è quando affermi:
Che intendi per applicazioni polinomiali?
E poi, $1=0*x+1$ è un'equazione, mentre $(A+B)*x+(A-B)$ è il membro di un'altra equazione (o eguaglianza).
Probabilmente sottintendi qualcosa che a me sfugge.
Dunque, i passaggi che esponi sono chiari, e così la conclusione (il sistema). Ciò che non mi è chiaro, invece, è quando affermi:
l'ultima espressione è un'uguaglianza di applicazioni polinomiali. Affinchè i polinomi 1=0⋅x+1 ed (A+B)⋅x+(A-B) siano uguali si deve verificare che:
Che intendi per applicazioni polinomiali?
E poi, $1=0*x+1$ è un'equazione, mentre $(A+B)*x+(A-B)$ è il membro di un'altra equazione (o eguaglianza).
Probabilmente sottintendi qualcosa che a me sfugge.
Quella che gugo82 chiama una eguaglianza di applicazioni polinomiali è una identità di polinomi .Ovvero una eguaglianza tra polinomi che deve essere verificata da qualsiasi valore (reale) della x.Ciò implica che i coefficienti del polinomio a sinistra dell'eguale devono essere uguali ai coefficienti analoghi del polinomio a destra.Nel nostro caso l'eguaglianza è A(x+1)+B(x-1)=1 oppure,completando il secondo membro con 0x,(A+B)x+(A-B)=0x+1
Pertanto eguagliando i coefficienti hai il sistema ${(A+B=0),(A-B=1):}$ che risolto restituisce $A=1/2,B=-1/2$
Se vuoi fare piu' presto puoi usare la formula $A_i=1/(f'(a_i))$ dove $A_i,f'(a_i) $ sono rispettivamente i coefficienti $ A_i $ da trovare ( che nel tuo caso sono stati indicati con A e B) e il valore della derivata prima del denominatore della frazione da scomporre ,calcolato in ciascuna delle sue radici.
Nel nostro caso il polinomio è $x^2-1$,la sua derivata è 2x e le sue radici sono +1 (relativa alla A) e -1 (relativa alla B).Pertanto risulta:$A=A_1=1/(2*(1))=1/2,B=A_2=1/(2*(-1))=-1/2$
Tuttavia devo aggiungere che questo metodo vale solo se le radici sono tutte semplici ( e reali ).Per radici multiple servono metodi più complessi.
Ciao
Pertanto eguagliando i coefficienti hai il sistema ${(A+B=0),(A-B=1):}$ che risolto restituisce $A=1/2,B=-1/2$
Se vuoi fare piu' presto puoi usare la formula $A_i=1/(f'(a_i))$ dove $A_i,f'(a_i) $ sono rispettivamente i coefficienti $ A_i $ da trovare ( che nel tuo caso sono stati indicati con A e B) e il valore della derivata prima del denominatore della frazione da scomporre ,calcolato in ciascuna delle sue radici.
Nel nostro caso il polinomio è $x^2-1$,la sua derivata è 2x e le sue radici sono +1 (relativa alla A) e -1 (relativa alla B).Pertanto risulta:$A=A_1=1/(2*(1))=1/2,B=A_2=1/(2*(-1))=-1/2$
Tuttavia devo aggiungere che questo metodo vale solo se le radici sono tutte semplici ( e reali ).Per radici multiple servono metodi più complessi.
Ciao
Finalmente ho capito! Meglio tardi che mai, recitava un vecchio adagio!
Allora, vediamo se posso vederla anche in termini geometrici. L'eguaglianza:
$A(x+1)+B(x-1)=1$ che possiamo anche riscrivere come: $(A+B)x+(A-B)=1$
la possiamo considerare come un sistema di due equazioni:
${(y=(A+B)x+(A-B)),(y=1):}$
Si tratta, quindi, di due luoghi geometrici, entrambi del primo ordine, che per essere eguali devono avere stessa intercetta e stesso coefficiente angolare. Ma l'intercetta di $y=1$ è 1 ed il suo coefficiente angolare è zero. Pertanto:
${(A+B=0),(A-B=1):}$
Ragionamento corretto? Oppure "buca" da qualche parte?
Grazie mille!
Allora, vediamo se posso vederla anche in termini geometrici. L'eguaglianza:
$A(x+1)+B(x-1)=1$ che possiamo anche riscrivere come: $(A+B)x+(A-B)=1$
la possiamo considerare come un sistema di due equazioni:
${(y=(A+B)x+(A-B)),(y=1):}$
Si tratta, quindi, di due luoghi geometrici, entrambi del primo ordine, che per essere eguali devono avere stessa intercetta e stesso coefficiente angolare. Ma l'intercetta di $y=1$ è 1 ed il suo coefficiente angolare è zero. Pertanto:
${(A+B=0),(A-B=1):}$
Ragionamento corretto? Oppure "buca" da qualche parte?
Grazie mille!
Se ti piace di più visualizzare un'applicazione polinomiale di grado non superiore al primo mediante il suo grafico (una retta) sei liberissimo di farlo, e tu l'hai fatto correttamente: qualunque ragionamento ti permetta di capire bene una cosa è lecito e buono.
Però alle conclusioni cui sei arrivato si perviene anche non considerando la rappresentazione grafica, in quanto le due equazioni che legano i coefficienti delle due applicazioni polinomiali sono conseguenza del Principio d'identità dei polinomi.
Ah, c'è una notevole differenza tra polinomio ed applicazione polinomiale, come sanno bene gli algebristi. Quando torno a casa prometto di chiarire questo punto (a meno che non intervenga un algebrista prima di me
).
Però alle conclusioni cui sei arrivato si perviene anche non considerando la rappresentazione grafica, in quanto le due equazioni che legano i coefficienti delle due applicazioni polinomiali sono conseguenza del Principio d'identità dei polinomi.
Ah, c'è una notevole differenza tra polinomio ed applicazione polinomiale, come sanno bene gli algebristi. Quando torno a casa prometto di chiarire questo punto (a meno che non intervenga un algebrista prima di me
).
Grazie gugo82. Allora attendo le tue considerazioni e relativi chiarimenti in merito con interesse: non ho mai avuto occasione di approfondire le tematiche dell'algebra.
Ciao.
Ciao.
L'interpretazione grafica di Alfredo e' certamente suggestiva ma e' legata al grado dei polinomi che entrano in gioco.Polinomi che assai di rado sono tutti di primo grado.Meglio il principio d'identità dei polinomi...
Ciao
Ciao
La spiegazione che segue non è rigorosissima, ma può soddisfare chi si occupa di Analisi.
Non fatevi intimorire dalla lunghezza, ma se vi perdete passate direttamente ai punti c) e d).
a) Cominciamo con la definizione di polinomio, che non è il massimo dell'immediatezza.
Evidentemente stanno in $A[X]$ quelle successioni che hanno tutti i termini nulli tranne uno: fissato $n in NN$, chiameremo $X^n$ la successione che l'$n$-esimo termine uguale ad $1_A$ e tutti i termini rimanenti nulli.
Ciò fatto, si prova facilmente che la successione che ha il termine d'indice $n$ uguale ad $a$ e tutti i rimanenti termini nulli si può esprimere nella forma $a*X^n$ (la moltiplicazione è quella fra polinomi!); d'altra parte, ogni polinomio di grado $v$ si può esprimere come somma di esattamente $v$ polinomi che hanno un unico coefficiente non nullo e ciò implica che ogni $p in A[X]$ si può rappresentare nella forma:
$p=a_0+a_1*X+a_2*X^2+...+a_v*X^v$.
a cui siamo abituati fin dalle scuole medie!
Notiamo che in questa rappresentazione la $X$, che è di solito interpretata come "termine variabile", non ha alcun "significato evidente": essa è solo un utile artificio per compattare la notazione e per rendere palese che le due operazioni definite in $A[X]$ non sono altro che l'addizione e la moltiplicazione tra polinomi che sappiamo svolgere fin dalle scuole medie.
Il succo è: Un polinomio in $A$ è una successione che gode di una particolare proprietà.
b) Ora definiamo le applicazioni polinomiali.
Questa è una funzione di $A$ in $A$!
Praticamente abbiamo sostituito alla $X$ che non aveva alcun "significato evidente" un preciso elemento dell'anello $A$ ed abbiamo calcolato una combinazione lineare delle potenze di $x$.
Il succo è: Ogni polinomio determina una funzione di $A$ in $A$, detta applicazione polinomiale.
Evidentemente due polinomi uguali determinano la stessa applicazione polinomiale. Il problema che si pone è questo: due polinomi diversi $p!=q in A[X]$ possono determinare la stessa applicazione polinomiale in $A$?
La risposta in generale è: Sì! (Ad esempio i due polinomi $X,X^2 in ZZ_2[X]$ determinano la stessa applicazione polinomiale su $ZZ_2$)
La cosa bella, però, è che esiste un teorema che ci consente di dire quando la situazione precedente non si verifica: questo notevole risultato si chiama Principio d'Identità dei Polinomi e si enuncia come segue.
c) Traiamo le conclusioni per quanto riguarda i polinomi reali:
d) Torniamo infine all'esercizio.
L'uguaglianza $1=(A+B)x+(A-B)$ deve valere per ogni $x in RR$, quindi è un'uguaglianza tra applicazioni polinomiali, precisamente tra l'applicazione determinata dal polinomio $1$, che conviene rappresentare come $1+0*X$, e dal polinomio $(A-B)+(A+B)*X$. Dato che $RR$ è un campo infinito, vale il Principio d'Identità dei Polinomi e puoi affermare che quelle due applicazioni polinomiali sono uguali se tali sono i polinomi $1+0*X, (A-B)+(A+B)*X in RR[X]$: affinchè tali polinomi siano uguali occorre e basta che i loro coefficienti siano ordinatamente uguali e ciò si verifica solo se $A,B$ sono soluzioni del sistema:
$\{(A-B=1),(A+B=0):}$.
Ecco, questo è il passaggio logico importante: riconoscere che si può applicare il Principio d'Identità dei Polinomi!
Sono stato un po' prolisso, ma spero di aver spiegato decentemente.
Fatemi sapere.
Non fatevi intimorire dalla lunghezza, ma se vi perdete passate direttamente ai punti c) e d).
a) Cominciamo con la definizione di polinomio, che non è il massimo dell'immediatezza.
Sia $A$ un anello con somma $+$ e prodotto $*$ e siano $0_A,1_A$ rispettivamente l'elemento neutro di rispetto alla somma e l'elemento neutro rispetto al prodotto di $A$.
Un polinomio a coefficienti in $A$ non è altro che una successione definitivamente nulla di elementi di $A$, ossia una $(a_n)_(n in NN)\subseteq A$ che gode della seguente proprietà:
DN) $exists barn in NN: AAnge nu, a_(barn)=0$.
L'insieme dei polinomi a coefficienti in $A$ si indica col simbolo $A[X]$. Il polinomio $o$ che ha tutti i coefficienti nulli si chiama polinomio nullo.
Si chiama grado di un polinomio non nullo il numero naturale $v$ che gode della seguente proprietà:
G) $a_v!=0_A$ e $AAn>v, a_n=0_A$
(un tale $v$ esiste ed è unico per la Proprietà del buon ordinamento di $NN$).
Due polinomi $p=(a_n), q=(b_n)in A[X]$ si dicono uguali se e solo se hanno ugual grado $v$ e se risulta $a_0=b_0$, $a_1=b_1$, ..., $a_v=b_v$ (questa proprietà si esprime dicendo che $p,q$ hanno i coefficienti ordinatamente uguali).
Si prova che le assegnazioni:
$+: ((a_n);(b_n)) in A[X]times A[X] rarr (a_n+b_n) in A[X]\quad$ e $\quad * : ((a_n);(b_n))in A[X]times A[X] rarr (\sum_(k=0)^n a_(n-k)*b_k) in A[X]$
definiscono due operazioni in $A[X]$, dette somma e prodotto tra polinomi: la struttura $(A[X], +,*)$ è un anello; inoltre esso contiene un sottoanello $A'$ (quello delle successioni del tipo $(a,0,0,...,0,...)$) che è isomorfo ad $A$: perciò possiamo ritenere $Asubseteq A[X]$ e tale inclusione ci permette di verificare che gli elementi neutri di $A[X]$ rispetto alle sue operazioni coincidono con quelli di $A$.
Evidentemente stanno in $A[X]$ quelle successioni che hanno tutti i termini nulli tranne uno: fissato $n in NN$, chiameremo $X^n$ la successione che l'$n$-esimo termine uguale ad $1_A$ e tutti i termini rimanenti nulli.
Ciò fatto, si prova facilmente che la successione che ha il termine d'indice $n$ uguale ad $a$ e tutti i rimanenti termini nulli si può esprimere nella forma $a*X^n$ (la moltiplicazione è quella fra polinomi!); d'altra parte, ogni polinomio di grado $v$ si può esprimere come somma di esattamente $v$ polinomi che hanno un unico coefficiente non nullo e ciò implica che ogni $p in A[X]$ si può rappresentare nella forma:
$p=a_0+a_1*X+a_2*X^2+...+a_v*X^v$.
a cui siamo abituati fin dalle scuole medie!
Notiamo che in questa rappresentazione la $X$, che è di solito interpretata come "termine variabile", non ha alcun "significato evidente": essa è solo un utile artificio per compattare la notazione e per rendere palese che le due operazioni definite in $A[X]$ non sono altro che l'addizione e la moltiplicazione tra polinomi che sappiamo svolgere fin dalle scuole medie.
Il succo è: Un polinomio in $A$ è una successione che gode di una particolare proprietà.
b) Ora definiamo le applicazioni polinomiali.
Fissiamo un polinomio $p=\sum_(k=0)^va_k*X^kin A[X]$.
Si chiama applicazione polinomiale determinata da $p$ in $A$ quella definita dall'assegnazione:
$x in A rarr p(x) :=\sum_(k=0)^va_k*x^k in A$
Questa è una funzione di $A$ in $A$!
Praticamente abbiamo sostituito alla $X$ che non aveva alcun "significato evidente" un preciso elemento dell'anello $A$ ed abbiamo calcolato una combinazione lineare delle potenze di $x$.
Il succo è: Ogni polinomio determina una funzione di $A$ in $A$, detta applicazione polinomiale.
Evidentemente due polinomi uguali determinano la stessa applicazione polinomiale. Il problema che si pone è questo: due polinomi diversi $p!=q in A[X]$ possono determinare la stessa applicazione polinomiale in $A$?
La risposta in generale è: Sì! (Ad esempio i due polinomi $X,X^2 in ZZ_2[X]$ determinano la stessa applicazione polinomiale su $ZZ_2$)
La cosa bella, però, è che esiste un teorema che ci consente di dire quando la situazione precedente non si verifica: questo notevole risultato si chiama Principio d'Identità dei Polinomi e si enuncia come segue.
Se $(A,+,*)$ è un dominio d'integrità infinito (in particolare un campo infinito), allora due polinomi che determinano la stessa applicazione polinomiale in $A$ sono uguali.
c) Traiamo le conclusioni per quanto riguarda i polinomi reali:
(Definizioni)
Polinomio a coefficienti in $RR$ = Successione definitivamente nulla di numeri reali;
Applicazione polinomiale determinata da un polinomio $p$ in $RR$ = Funzione di $RR$ in sè;
(Uguaglianza)
Due polinomi a coefficienti in $RR$ sono uguali <=> I due polinomi hanno i coefficienti ordinatamente uguali;
Due applicazioni polinomiali determinate da $p,q in RR[X]$ in $RR$ sono uguali <=> Risulta $AAx in RR,\quad p(x)=q(x)$;
(Principio d'Identità dei Polinomi)
Due polinomi a coefficienti in $RR$ sono uguali <=> Le applicazioni polinomiali da essi determinati in $RR$ sono uguali.
d) Torniamo infine all'esercizio.
L'uguaglianza $1=(A+B)x+(A-B)$ deve valere per ogni $x in RR$, quindi è un'uguaglianza tra applicazioni polinomiali, precisamente tra l'applicazione determinata dal polinomio $1$, che conviene rappresentare come $1+0*X$, e dal polinomio $(A-B)+(A+B)*X$. Dato che $RR$ è un campo infinito, vale il Principio d'Identità dei Polinomi e puoi affermare che quelle due applicazioni polinomiali sono uguali se tali sono i polinomi $1+0*X, (A-B)+(A+B)*X in RR[X]$: affinchè tali polinomi siano uguali occorre e basta che i loro coefficienti siano ordinatamente uguali e ciò si verifica solo se $A,B$ sono soluzioni del sistema:
$\{(A-B=1),(A+B=0):}$.
Ecco, questo è il passaggio logico importante: riconoscere che si può applicare il Principio d'Identità dei Polinomi!
Sono stato un po' prolisso, ma spero di aver spiegato decentemente.
Fatemi sapere.
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