Sviluppo doppio prdotto vettoriale
Ad un certo punto di una dimostrazione bisogna sviluppare l'espressione $\grad x (u x w)$ utilizzando la nota formula per il calcolo di un doppio prodotto vettoriale del tipo $a x (b x c)$.
Io lo svilupperei in questo modo:
$(\grad * w) u - (\grad * u) w$, per cui la componente i-sima del vettore dovrebbe essere
$(\grad * w) u_i - (\grad * u) w_i $
La persona che mi ha sottoposto questo quesito dice che il professore, a lezione, ha ottenuto che la componente i-sima di tale vettore è:
$\partial_{x_j }(w_j u_i) - \partial_{x_j} (u_j w_i)$
Poichè le due espressioni non sono equivalenti, mi chiedo cosa dove possa essere l'errore (se errore ho commesso). Grazie.
Io lo svilupperei in questo modo:
$(\grad * w) u - (\grad * u) w$, per cui la componente i-sima del vettore dovrebbe essere
$(\grad * w) u_i - (\grad * u) w_i $
La persona che mi ha sottoposto questo quesito dice che il professore, a lezione, ha ottenuto che la componente i-sima di tale vettore è:
$\partial_{x_j }(w_j u_i) - \partial_{x_j} (u_j w_i)$
Poichè le due espressioni non sono equivalenti, mi chiedo cosa dove possa essere l'errore (se errore ho commesso). Grazie.
Risposte
Usare $nabla$ come se fosse un vettore è comodo dal punto di vista mnemonico ma non tutte le manipolazioni portano a risultati corretti. Una volta Gugo aveva postato il link ad un pdf dedicato proprio a questo. Può essere che anche in questo caso sia così.
Ecco qua, ho trovato il link che dicevo:
http://deepblue.lib.umich.edu/bitstream ... 01.001.pdf
(originariamente postato da gugo qui).
Il punto 2. (e forse anche qualche altro punto successivo, non li ho letti tutti) parla del caso in questione.
http://deepblue.lib.umich.edu/bitstream ... 01.001.pdf
(originariamente postato da gugo qui).
Il punto 2. (e forse anche qualche altro punto successivo, non li ho letti tutti) parla del caso in questione.
Credo che sia proprio come dici tu.
Ho optato allora per sviluppare il doppio prodotto vettoriale in maniera "diretta", senza far ricorso alla nota "scorciatoia". Ho effettivamente trovato l'espressione che dovevo trovare.
Il docente però ha dichiarato di aver trovato quell'espressione utilizzando la formula per lo sviluppo del doppio prodotto vettoriale. Come va intesa allora la formula, visto e considerato che una manipolazione meramente formale dei simboli come $\grad$ porta a degli errori ?
Grazie.
Ho optato allora per sviluppare il doppio prodotto vettoriale in maniera "diretta", senza far ricorso alla nota "scorciatoia". Ho effettivamente trovato l'espressione che dovevo trovare.
Il docente però ha dichiarato di aver trovato quell'espressione utilizzando la formula per lo sviluppo del doppio prodotto vettoriale. Come va intesa allora la formula, visto e considerato che una manipolazione meramente formale dei simboli come $\grad$ porta a degli errori ?
Grazie.
Non sono un asso di questo genere di sviluppi differenziali e perciò nel dubbio faccio sempre i calcoli sulle singole coordinate. Non ti so dire un metodo più rapido, purtroppo. Anche perché io nel mio piccolo direi che un metodo più rapido non esiste.
Ripeto: scritture come $nabla cdot v, nabla times u$ sono corrette e le uso pure io, ma semplicemente come scritture alternative alle classiche $"div"( v), "rot" (u)$ da non trattare assolutamente come se $nabla$ fosse un vettore. Ecco, per esempio:
sappiamo che se $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ sono vettori, allora $(vec{a}\times \vec{b})cdot \vec{c}=-(vec{a}\times \vec{c})cdot \vec{b}$. Consideriamo ora $(nabla \times vec{v})\cdot vec{u}$. Saremmo tentati di dire
$(nabla \times vec{v})\cdot vec{u}=-(nabla times vec{u})cdot vec{v}$;
peccato che sia falso: nel primo caso le derivate sono su $v$ nel secondo su $u$, evidentemente c'è un problema. Prendi per esempio un campo elettrostatico $vec{v}$ e un campo magnetostatico $vec{u}$ e ottieni che la prima espressione si annulla, la seconda non necessariamente.
Ripeto: scritture come $nabla cdot v, nabla times u$ sono corrette e le uso pure io, ma semplicemente come scritture alternative alle classiche $"div"( v), "rot" (u)$ da non trattare assolutamente come se $nabla$ fosse un vettore. Ecco, per esempio:
sappiamo che se $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ sono vettori, allora $(vec{a}\times \vec{b})cdot \vec{c}=-(vec{a}\times \vec{c})cdot \vec{b}$. Consideriamo ora $(nabla \times vec{v})\cdot vec{u}$. Saremmo tentati di dire
$(nabla \times vec{v})\cdot vec{u}=-(nabla times vec{u})cdot vec{v}$;
peccato che sia falso: nel primo caso le derivate sono su $v$ nel secondo su $u$, evidentemente c'è un problema. Prendi per esempio un campo elettrostatico $vec{v}$ e un campo magnetostatico $vec{u}$ e ottieni che la prima espressione si annulla, la seconda non necessariamente.
"dissonance":
Non sono un asso di questo genere di sviluppi differenziali e perciò nel dubbio faccio sempre i calcoli sulle singole coordinate. Non ti so dire un metodo più rapido, purtroppo. Anche perché io nel mio piccolo direi che un metodo più rapido non esiste.
Ripeto: scritture come $nabla cdot v, nabla times u$ sono corrette e le uso pure io, ma semplicemente come scritture alternative alle classiche $"div"( v), "rot" (u)$ da non trattare assolutamente come se $nabla$ fosse un vettore. Ecco, per esempio:
sappiamo che se $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ sono vettori, allora $(vec{a}\times \vec{b})cdot \vec{c}=-(vec{a}\times \vec{c})cdot \vec{b}$. Consideriamo ora $(nabla \times vec{v})\cdot vec{u}$. Saremmo tentati di dire
$(nabla \times vec{v})\cdot vec{u}=-(nabla times vec{u})cdot vec{v}$;
peccato che sia falso: nel primo caso le derivate sono su $v$ nel secondo su $u$, evidentemente c'è un problema. Prendi per esempio un campo elettrostatico $vec{v}$ e un campo magnetostatico $vec{u}$ e ottieni che la prima espressione si annulla, la seconda non necessariamente.
Anche a me non piace utilizzare queste espressioni meramente formali. Ho dovuto farlo perchè mi è stato chiesto un aiuto su un passaggio in cui il docente aveva usato la nota formula per il calcolo del doppio prodotto vettoriale.
I calcoli sono corretti, questo l'ho verificato per via diretta, dato che anzichè utilizzare la "scorciatoia" della formula per il doppio prodotto vettoriale, ho determinato il prodotto vettoriale $u x w$ e di questo ne ho calcolato il rotore.
La cosa però mi ha incuriosito, perchè mi sono reso conto che utilizzare la formula per il doppio prodotto vettoriale quando compaiono espressioni puramente formali come il $\grad$ conduce ad errori. Il link che mi hai fornito (e del quale ti ringrazio) fornisce un'interessantissima carrellata degli abusi di notazione dovuti all'utilizzo di simili notazioni.
Nel caso specifico è evidente quindi che l'espressione formale
$(\grad * w)u- (\grad *u) w$ non può essere interpretata nel senso suggerito dalle parentesi (ossia prima mi trovo la divergenza del vettore w e poi la moltiplico per il vettore u...), ma in senso differente, ossia le derivazioni indicate dal vettore $\grad$ vanno applicate a tutto ciò che segue l'operatore di derivazione stesso, ossia:
${\partial(w_j u)} / {\partial x_j} - {\partial (u_j w)}/{partial x_j}$
da cui, passando alla componente i-sima, si trova:
${\partial(w_j u_i)} / {\partial x_j} - {\partial (u_j w_i)}/{partial x_j}$
che è quanto si doveva ottenere.
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