Sviluppo di Taylor secondo ordine funzione implicita
Salve, non riesco a risolvere questo esercizio :
Verificare che l'equazione \(\displaystyle x+cos(x)+2ye^{y^3} -z^2+4z-5=0 \) definisce in un intorno del punto \(\displaystyle (0,0,2) \) una superficie di equazione \(\displaystyle x=f(y,z) \). Si calcoli lo sviluppo di Taylor di f fino al secondo ordine.
Ora per il primo punto, dove bisogna applicare il teorema del Dini non ho nessun problema. Ho difficoltà però nello scrivere lo sviluppo di Taylor. So che ci sono due modi per farlo, uno attraverso le derivate parziali e l'altro con gli sviluppi di Taylor. Il primo metodo come si fa in questo caso ? Per il secondo non si può fare in questo caso perché ho il centro in (0,0,2) e non in (0,0) giusto ?
Verificare che l'equazione \(\displaystyle x+cos(x)+2ye^{y^3} -z^2+4z-5=0 \) definisce in un intorno del punto \(\displaystyle (0,0,2) \) una superficie di equazione \(\displaystyle x=f(y,z) \). Si calcoli lo sviluppo di Taylor di f fino al secondo ordine.
Ora per il primo punto, dove bisogna applicare il teorema del Dini non ho nessun problema. Ho difficoltà però nello scrivere lo sviluppo di Taylor. So che ci sono due modi per farlo, uno attraverso le derivate parziali e l'altro con gli sviluppi di Taylor. Il primo metodo come si fa in questo caso ? Per il secondo non si può fare in questo caso perché ho il centro in (0,0,2) e non in (0,0) giusto ?
Risposte
Il teorema di Dini ti da anche un'espressione sulle derivate. E' l'idea analoga al caso per $f: RR^2 \rightarrow RR$.
Il modo più semplice per ricordarlo **una volta verificate le ipotesi del Dini** è che per il teorema è possibile scrivere localmemente $f(x(y,z),y,z)=0$. Derivando rispetto a $y$ tale espressione e utilizzando la chain rule: $f_x \frac{dx}{fy}+f_y=0$, da cui ricavando $\frac{dx(y,z)}{dy}$ valutando nel punto d'interesse si ha l'espressione per la derivata parziale rispetto a $x$. Stesso ragionamento per la variabile $z$: si derivata l'espressione implicita rispetto a $z$. E stessa storia anche per le derivate seconde. Poi per lo sviluppo di Taylor ti basta solo usare la definizione
Il modo più semplice per ricordarlo **una volta verificate le ipotesi del Dini** è che per il teorema è possibile scrivere localmemente $f(x(y,z),y,z)=0$. Derivando rispetto a $y$ tale espressione e utilizzando la chain rule: $f_x \frac{dx}{fy}+f_y=0$, da cui ricavando $\frac{dx(y,z)}{dy}$ valutando nel punto d'interesse si ha l'espressione per la derivata parziale rispetto a $x$. Stesso ragionamento per la variabile $z$: si derivata l'espressione implicita rispetto a $z$. E stessa storia anche per le derivate seconde. Poi per lo sviluppo di Taylor ti basta solo usare la definizione
Allora io mi sono scritto la formula dello sviluppo di Taylor ,arrestato al secondo ordine per funzioni di due variabili, applicata alla mia funzione implicita f(y,z) centrata in (0,2) :
\(\displaystyle f(0,2)+ \frac {df} {dy} (0,2)y+ \frac {df} {dz} (0,2)(z-2)+\frac {1} {2} [\frac {df} {dy^{2}} (0,2)y^2 + \frac {df} {dz^{2}} (0,2) (z-2)^2 +2 \frac {df} {dy dz} (0,2) y(z-2)]\)
Ora siccome f è una funzione implicita per calcolarmi le derivate parziali ho utilizzato l'ultima parte del teorema del Dini :
\(\displaystyle \frac {df} {dy} = -\frac {\frac {dg} {dy} (0,0,2)} {\frac {dg} {dx} (0,0,2)} \)
\(\displaystyle \frac {df} {dz} = -\frac {\frac {dg} {dz} (0,0,2)} {\frac {dg} {dx} (0,0,2)}\)
Ora però come faccio a calcolarmi le altre derivate parziali ?
\(\displaystyle f(0,2)+ \frac {df} {dy} (0,2)y+ \frac {df} {dz} (0,2)(z-2)+\frac {1} {2} [\frac {df} {dy^{2}} (0,2)y^2 + \frac {df} {dz^{2}} (0,2) (z-2)^2 +2 \frac {df} {dy dz} (0,2) y(z-2)]\)
Ora siccome f è una funzione implicita per calcolarmi le derivate parziali ho utilizzato l'ultima parte del teorema del Dini :
\(\displaystyle \frac {df} {dy} = -\frac {\frac {dg} {dy} (0,0,2)} {\frac {dg} {dx} (0,0,2)} \)
\(\displaystyle \frac {df} {dz} = -\frac {\frac {dg} {dz} (0,0,2)} {\frac {dg} {dx} (0,0,2)}\)
Ora però come faccio a calcolarmi le altre derivate parziali ?
Con la stessa idea che ho scritto sopra
Scusami potresti farmi per favore l'esempio della derivata parziale xy in questo caso ?
Credo tu intenda la derivata mista in $x$ e $z$. Nel post qui soto chiamo $x=x(y,z)$ la funzione implicitamente definita.
Il conto non lo farò. Tutto quello che devi fare è utilizzare il teorema della derivata della funzione composta e derivare la **relazione implicita** come ho fatto sopra.
Più specificamente, detta $g(x,y,z)=0$ il tuo problema di partenza:
Derivando rispetto a $y$, e assumendo per il Dini $x=x(y,z)$ hai ricavato $f_x \frac{dx}{dy}+f_y=0$
Poiché vuoi la derivata **mista**, ora derivi tale relazione rispetto a $z$:
$\frac{d}{dz}[g_x(x(y,z),y,z) \frac{dx(y,z)}{dy}+g_y(x(y,z),y,z)=0]$
Ricordando che i valori $\frac{dx(y,z)}{dy}$ e $\frac{dx(y,z)}{dz}$ sono noti visto che li hai già calcolati. Inoltre, i termini $\frac{d^2 g}{dx^2}$ saranno facilmente calcolabili visto che $g$ è nota. Salterà fuori un termine $\frac{d^2x(y,z)}{dzdy}$ e sarà quello che dovrai isolare e calcolare facilmente conoscendo tutto il resto
Il conto non lo farò. Tutto quello che devi fare è utilizzare il teorema della derivata della funzione composta e derivare la **relazione implicita** come ho fatto sopra.
Più specificamente, detta $g(x,y,z)=0$ il tuo problema di partenza:
Derivando rispetto a $y$, e assumendo per il Dini $x=x(y,z)$ hai ricavato $f_x \frac{dx}{dy}+f_y=0$
Poiché vuoi la derivata **mista**, ora derivi tale relazione rispetto a $z$:
$\frac{d}{dz}[g_x(x(y,z),y,z) \frac{dx(y,z)}{dy}+g_y(x(y,z),y,z)=0]$
Ricordando che i valori $\frac{dx(y,z)}{dy}$ e $\frac{dx(y,z)}{dz}$ sono noti visto che li hai già calcolati. Inoltre, i termini $\frac{d^2 g}{dx^2}$ saranno facilmente calcolabili visto che $g$ è nota. Salterà fuori un termine $\frac{d^2x(y,z)}{dzdy}$ e sarà quello che dovrai isolare e calcolare facilmente conoscendo tutto il resto
Scusami siccome non riesco proprio a capire potresti perfavore farmi l'esempio della derivata mista yz nel mio caso ?
Chiamo la funzione implicita $x(y,z)$.
Controlla i conti, ma derivando l'espressione che ho scritto nel mio post precedente, si ha:
$(g_{x x} x_z+g_{xz}) \cdot x_y +g_x \frac{d^2 x(y,z)}{dzdy}+g_{yx} x_z+g_{yz}=0$ e da qui ricavi $\frac{d^2 x(y,z)}{dzdy}$. Ora devi solo valutare nel punto $(0,0,2)$.
Dove con $g_{xz}$ intendo la derivata mista di $g$ nelle variabili $x$ e $z$ e con $x_y$ intendo la derivata di $x(y,z)$ rispetto a $y$. (Stesso discorso con $x_z$)
Controlla i conti, ma derivando l'espressione che ho scritto nel mio post precedente, si ha:
$(g_{x x} x_z+g_{xz}) \cdot x_y +g_x \frac{d^2 x(y,z)}{dzdy}+g_{yx} x_z+g_{yz}=0$ e da qui ricavi $\frac{d^2 x(y,z)}{dzdy}$. Ora devi solo valutare nel punto $(0,0,2)$.
Dove con $g_{xz}$ intendo la derivata mista di $g$ nelle variabili $x$ e $z$ e con $x_y$ intendo la derivata di $x(y,z)$ rispetto a $y$. (Stesso discorso con $x_z$)
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