Sviluppo di Taylor funzioni miste

[Nucnele]

Determinare lo sviluppo di Taylor di secondo grado centrato nell’origine delle seguenti funzioni :
f(x, y) = sin x sin y .
Ho determinato le derivate prime parziali = (cos x sin y, sin x cos y) f (0,0) = (0,0)
e le derivate seconde parziali ( uguali tra loro ) = - senx sen y f(0,0) = 1

Ma come faccio ad ottenere questo risultato? grazie!
f(x, y) = xy + o(x^2 +y^2)

[Mascaretti]

Lo sviluppo di Taylor non considera solo le derivate pure (fatte cioè secondo una unica variabile) ma anche quelle miste, esempio $ frac (del^2 f) (delx dely). $ In questo caso infatti avrai:
$f(x,y) = f(0,0) + frac (delf) (delx) (0,0) (x-x_0) + frac (delf) (dely) (0,0) (y-y_0) + frac 1 2 frac (del^2 f) (delx^2) (0,0)(x-x_0)^2 + 2 \ frac 1 2 frac (del^2 f) (delx dely) (0,0) (x-x_0) (y-y_0) +$
$ + frac 1 2 frac (del^2 f) (del y^2) (0,0) (y-y_0)^2 + o(x^2 + y^2) $, con $ (x_0,y_0) = (0,0) $.
Il 2 volte $ frac 1 2 $ è dovuto al fatto che, in certe condizioni (come in questo caso, per approfondire ti rimando al Teorema di Schwarz), non importa l'ordine in cui derivi le derivate miste, cioè $ frac (del^2 f) (delx dely) (x,y) = frac (del^2 f) (dely delx) (x,y) $ e quindi dovresti contarla due volte. Spero che aiuti.