Sviluppo di Taylor di una funzione!
Salve a tutti. Dovrei scrivere lo sviluppo fino all'ordine 4 di questa funzione ma trovo delle difficoltà:
$ f(x)=(1+cosx)^2sinx $
Allora, sapendo lo sviluppo del coseno $ cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4) $ , mi sono scritto lo sviluppo di $ 1 + cosx $
$ 1+ cosx=2-x^2/2+x^4/24+o(x^4) $ è giusto?
Dopodichè dovrei elevarlo al quadrato, ma viene un conto assurdo. Sbaglio qualcosa?
Solo con la teoria del libro non riesco a capire se gli o piccoli mi permettono una sostanziosa semplificazione in questi conti. Se qualcuno può illuminarmi. Grazie.
$ f(x)=(1+cosx)^2sinx $
Allora, sapendo lo sviluppo del coseno $ cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4) $ , mi sono scritto lo sviluppo di $ 1 + cosx $
$ 1+ cosx=2-x^2/2+x^4/24+o(x^4) $ è giusto?
Dopodichè dovrei elevarlo al quadrato, ma viene un conto assurdo. Sbaglio qualcosa?
Solo con la teoria del libro non riesco a capire se gli o piccoli mi permettono una sostanziosa semplificazione in questi conti. Se qualcuno può illuminarmi. Grazie.
Risposte
"Jonhson91":
Salve a tutti. Dovrei scrivere lo sviluppo fino all'ordine 4 di questa funzione ma trovo delle difficoltà:
$ f(x)=(1+cosx)^2sinx $
Allora, sapendo lo sviluppo del coseno $ cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4) $ , mi sono scritto lo sviluppo di $ 1 + cosx $
$ 1+ cosx=2-x^2/2+x^4/24+o(x^4) $ è giusto?
Dopodichè dovrei elevarlo al quadrato, ma viene un conto assurdo. Sbaglio qualcosa?
Non è che sbagli qualcosa ma devi capire questi o-piccolo
$[2-x^2/2+x^4/24+o(x^4) ]^2 = 4 -2x^2 +5x^4/12+ o(x^4)$
Il fatto è che nel quadrato, comunque hai $2o(x^4)$ per cui tutte le potenze >4 e tutto ciò che moltiplica l'o-piccolo, viene inglobato dentro l'o-piccolo.
Nel precedente messaggio avevo sbagliato qualcosa... Comunque non occorre prendere subito lo sviluppo del coseno fino al 4° ordine.
"Quinzio":
[quote="Jonhson91"]Salve a tutti. Dovrei scrivere lo sviluppo fino all'ordine 4 di questa funzione ma trovo delle difficoltà:
$ f(x)=(1+cosx)^2sinx $
Allora, sapendo lo sviluppo del coseno $ cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4) $ , mi sono scritto lo sviluppo di $ 1 + cosx $
$ 1+ cosx=2-x^2/2+x^4/24+o(x^4) $ è giusto?
Dopodichè dovrei elevarlo al quadrato, ma viene un conto assurdo. Sbaglio qualcosa?
Non è che sbagli qualcosa ma devi capire questi o-piccolo
$[2-x^2/2+x^4/24+o(x^4) ]^2 = 4 -2x^2 +5x^4/12+ o(x^4)$
Il fatto è che nel quadrato, comunque hai $2o(x^4)$ per cui tutte le potenze >4 e tutto ciò che moltiplica l'o-piccolo, viene inglobato dentro l'o-piccolo.[/quote]
Ok, ora mi è più chiaro. Grazie Mille.
Cmq Seneca mi ha fatto venire un dubbio: devo prendere la funzione fino al 4° grado o no? Perchè ho provato a prenderla di qualche grado inferiore ma il risultato mi viene (ovviamente) diverso.
Anche poi quando ho provato a moltiplicare per lo sviluppo del seno mi trovo in difficoltà. Essendo il seno una funzione dispari non ha il termine di 4° grado. Quindi cosa devo fare fermarmi al 3°? (ma in quel caso alla fine avrei uno sviluppo di grado 3 no? perchè l' $ o(x^3) $ ingloba tutto ciò che è più grande) Oppure andare al 5°?
Edit: Ho provato con il grado 5 ed effettivamente viene il risultato corretto, con l'eccezione che invece di un $ o(x^4) $ , nella soluzione c'è un $ O(x^5) $ . Sarebbe stato un errore?
Altro dubbio sugli sviluppi:
$ lim_(x->0) (x^2-tan(2x^3)) / (2x^5 + 5 (senx)^3) $
Sviluppo la tan e il seno fino al grado 3, ed ottengo:
$ (x^2-2x^3+o(x^3)) / ( 5x^3+o(x^3)) $
Ora come procedo?
Edit: E' giusto se divido tutto per $ x^3 $ ?
Così viene $ (1/x-2)/5 $ che tende ovviamente ad infinito. Dite che torna?
$ lim_(x->0) (x^2-tan(2x^3)) / (2x^5 + 5 (senx)^3) $
Sviluppo la tan e il seno fino al grado 3, ed ottengo:
$ (x^2-2x^3+o(x^3)) / ( 5x^3+o(x^3)) $
Ora come procedo?
Edit: E' giusto se divido tutto per $ x^3 $ ?
Così viene $ (1/x-2)/5 $ che tende ovviamente ad infinito. Dite che torna?
Una volta che hai scritto gli sviluppi, basta considerare il rapporto delle parti principali (sai quali sono)? Ottieni allora che il limite equivale a questo [tex]$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{5x^3}=\infty$[/tex]
"ciampax":
Una volta che hai scritto gli sviluppi, basta considerare il rapporto delle parti principali (sai quali sono)? Ottieni allora che il limite equivale a questo [tex]$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{5x^3}=\infty$[/tex]
Si ok, il risultato torna allo stesso modo anche così. Grazie.
Cmq mi chiedevo in quali casi posso passare al rapporto fra le parti principali. Cioè in un $ lim (x->infty) $ so che "vince" il termine con grado superiore e posso stabilire se tende a 0 o ad $ infty $ , ma posso passare alle parti principali anche in un limite generico?
Certo. Anzi, in realtà è proprio il concetto di limite a permetterti di fare questo.
"ciampax":
Certo. Anzi, in realtà è proprio il concetto di limite a permetterti di fare questo.
Ma sempre limitati al campo degli infinitesimi, no?
Ok Ok: adesso mi è più chiaro, ma avrei un altro dubbio
:$ lim_(x->+infty) (cos (1/x))^(x^2) $
$ lim_(x->+infty) e^((x^2)log(cos(1/x))) $
$ lim_(x->+infty) e^((x^2)log(1-1/(2x^2)+o(1/(x^2)))) $
Fin qui ci sono però adesso nella risoluzione trasforma il log in questo modo:
$ lim_(x->+infty) e^((x^2)(-1/(2x^2)+o(1/(x^2)))) $
Come ha fatto?
Nessuno?
Per $ x rarr 0 , log(1+x) $ è asintotico a $ x+o(x) $
Nel tuo caso $ x rarr oo $ e quindi $1/x^2 rarr 0 $ e puoi usare lo sviluppo asintotico detto sopra per $ log ( 1-1/(2x^2)+o(1/x^2)) $.
Nel tuo caso $ x rarr oo $ e quindi $1/x^2 rarr 0 $ e puoi usare lo sviluppo asintotico detto sopra per $ log ( 1-1/(2x^2)+o(1/x^2)) $.
"Jonhson91":
[quote="ciampax"]Certo. Anzi, in realtà è proprio il concetto di limite a permetterti di fare questo.
Ma sempre limitati al campo degli infinitesimi, no?
Ok Ok: adesso mi è più chiaro, ma avrei un altro dubbio
:$ lim_(x->+infty) (cos (1/x))^(x^2) $
$ lim_(x->+infty) e^((x^2)log(cos(1/x))) $
$ lim_(x->+infty) e^((x^2)log(1-1/(2x^2)+o(1/(x^2)))) $
Fin qui ci sono però adesso nella risoluzione trasforma il log in questo modo:
$ lim_(x->+infty) e^((x^2)(-1/(2x^2)+o(1/(x^2)))) $
Come ha fatto?[/quote]
Intanto io lascerei un attimo da parte $e^$ e riporterei tutto in forma più familiare con $w=1/x$:
$ lim_(w \to 0) \log(\cosw) /(w^2)$
Quindi:
$log(1+w) = w+ o(w)$
$\cos w = 1-w^2/2 + o(w^2)$
$\log (\cos w) = \log(1-w^2/2 + o(w^2)) = -w^2/2 + o(w)^2$
Non dovrebbe essere difficile concludere.
Modo alternativo:
Si poteva anche fare anche in modo spiccio (e pericoloso) così:
$ (cos (1/x))^(x^2) = (1-1/(2x^2)+o(1/(x^2)))^(x^2) = \sqrt{(1-1/(2x^2)+o(1/(x^2)))^(2x^2)} $
Ricordando che:
$\lim_{n \to +oo} (1-1/n)^n = 1/e$
si conclude che
$\lim_{x \to +oo}\sqrt{(1-1/(2x^2)+o(1/(x^2)))^(2x^2)}= 1/(\sqrt e) $
"Quinzio":
Intanto io lascerei un attimo da parte $e^$ e riporterei tutto in forma più familiare con $w=1/x$:
$ lim_(w \to 0) \log(\cosw) /(w^2)$
Quindi:
$log(1+w) = w+ o(w)$
$\cos w = 1-w^2/2 + o(w^2)$
$\log (\cos w) = \log(1-w^2/2 + o(w^2)) = -w^2/2 + o(w)^2$
Non dovrebbe essere difficile concludere.
Ahh, praticamente sviluppa il seno fino al primo ordine utilizzando come variabile l'espressione. Che stupido!
Fa la stessa cosa in quest'altro esempio:
$ lim_(x->0) (sen (pi3^x))/x $
Essendo:
$ 3^x= 1+xlog3+o(x) $
Allora
$ sin (pi3^x)=sin(pi+pixlog3+ o(x))=-sin(pixlog3+o(x))=-pixlog3+o(x) $
E quindi il limite tende a $ -pilog3 $
Ma io mi chiedevo, se non avessi sfruttato la proprietà del seno, mi sarei trovato in questa situazione:
$ sin(pi+pixlog3+o(x))=pi+pixlog3+o(x) $
Da cui
$ lim_(x->0) (pi+pixlog3+o(x))/x $
Come ne esco?
Altro piccolo dubbio sugli sviluppi di Taylor. Sfrutto il topic anche se era finito in 2° pagina.
Allora devo scrivere i primi due termini dello sviluppo di questa funzione $ f(x) = log(cosx+(cosx)^2) $
Allora io so che $ cos x = 1 - (x^2)/2+o(x^2) $ e dato che il $ (cos x)^2 = (1 - (x^2)/2+o(x^2))^2 = 1-x^2+x^a/4+o(x^4) $
sostituendoli nella formula l' $ o(x^2) $ si "mangia" tutti i termini di grado più alto. E rimane:
$ log ( 2-(3/2)x^2 + o(x^2)) $
Bene, ora come faccio ad andare avanti che il $ log $ non è nella forma $ log (1-x) $ ?
Grazie
Allora devo scrivere i primi due termini dello sviluppo di questa funzione $ f(x) = log(cosx+(cosx)^2) $
Allora io so che $ cos x = 1 - (x^2)/2+o(x^2) $ e dato che il $ (cos x)^2 = (1 - (x^2)/2+o(x^2))^2 = 1-x^2+x^a/4+o(x^4) $
sostituendoli nella formula l' $ o(x^2) $ si "mangia" tutti i termini di grado più alto. E rimane:
$ log ( 2-(3/2)x^2 + o(x^2)) $
Bene, ora come faccio ad andare avanti che il $ log $ non è nella forma $ log (1-x) $ ?
Grazie
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