Sviluppo di Taylor di una funzione

[jJjjJ1]

Ho questo esercizio:

Scrivere la formula di Taylor con resto di Peano, centrata in $x_0 = 0$ al primo ed al secondo ordine, della funzione definita da $f( 0 ) = 1/ e$ se $x = 0$ e da $f( x ) = ( 1 + x )^{ \frac{1}{x} } $ se $x \ne 0 $

Quello che a me viene in mente di fare è calcolare la derivata prima e seconda di quella funzione e trovare il valore $f'(0)$ ed $f''(0)$ con il limite di $x->0$. Fatto questo scrivo il polinomio di Taylor? E' giusto? Non c'è una strada più veloce?

[jJjjJ1]

Nessuno?

[poll89]

beh, così ad occhio, data la discontinuità eliminabile nell'origine quella funzione non è derivabile in x=0, a meno appunto di renderla continua ponendo $f(0) = e$.
In ogni caso, in questo esercizio devi usare la definizione di derivata prima di f, ovvero $f'(0) = lim_(h->0) (f(0+h) - f(0))/h$. In questo modo, supponendo che il limite esista e quindi che la f sia derivabile in x=0, trovi direttamente il valore $f'(0)$ senza fare conti assurdi.
Risolvi il limite e vedi cosa ti esce. Ricordati i limiti notevoli e non avrai problemi.