Sviluppo di Taylor da Equazione Differenziale

[fra_62]

Ciao a tutti!

In alcuni testi d'esame di quest'anno della mia facoltà ho trovato alcuni esercizi che chiedono di ricavarsi gli sviluppi di Taylor (più che altro McLaurin) del tot. ordine da un'equazione differenziale.
Gli sviluppi sono naturalmente collegati al calcolo differenziale, ma col mio precedente professore non ho mai affrontato quest'argomento e non ho idea di come procedere.
Riporto un esercizio.

Dato il seguente problema di Cauchy:

$ { ( y''+\alphax=sinx+e^(2x) ),( y(0)=-1 ),( y'(0)=1 ):} $

Determinare lo sviluppo di McLaurin del terzo ordine.


Non capisco bene come procedere, potreste aiutarmi? Una linea guida?
Grazie in anticipo

[Palliit]

Io, da ignorante, farei così.
Considerato che il polinomio di MacLaurin al terz'ordine è dato da:

$P_3(x)=y(0)+y"'"(0)*x+1/(2!)y"''"(0)*x^2+1/(3!)y"'''"(0)*x^3$,

hai già dati dal problema i valori di $y(0)$ e di $y'(0)$. Dall'equazione differenziale ricavi anche $y"''"(0)$. Dalla stessa equazione, derivando ulteriormente ambo i membri ottieni anche $y"'''"(x)$. Calcoli quest'ultima in $x=0$ e hai finito.

[Camillo]

Si chiede di determinare $y(x)= y(0)+y'(0)*x +y''(0)*x^2/2+y'''(0) x^3/6 $ , questo è lo sviluppo richiesto.
$ y(0 ) , y'(0 ) $ li conosci sono dati del problema ; $y''(x) = -alpha x +sin x +e^(2x)$ da cui $y''(0)= 1 $.
Lascio a te determinare prima $y'''(x) $ e poi valutarlo in $x=0 $.

[fra_62]

Ho sbagliato a trascrivere il PDC, come segue è corretto:

$ { ( y''+\alphay=sinx+e^(2x) ),( y(0)=-1 ),( y'(0)=1 ):} $

Ma immagino che il procedimento non cambi giusto?