Sviluppo di Taylor a un ordine alto
Qualcuno per caso riesce a calcolarmi con qualche software lo sviluppo di Taylor arrestato al quinto ordine di questa funzione?
$f(x,y)=sin(x-y)+cos(x^2+y)$
Ho l'impressione che il risultato del mio prof sia sbagliato, ma vorrei esserne sicuro. Mi basterebbe anche la conferma che il coefficiente di $y^4$ può apparire solo dalla derivata $(f_(yyyy)(0,0)) /24$ e che in questo caso risulta essere $1/24$? La derivata me l'ha fatta Wolfram, io avevo ricavato lo sviluppo in un altro modo.
$f(x,y)=sin(x-y)+cos(x^2+y)$
Ho l'impressione che il risultato del mio prof sia sbagliato, ma vorrei esserne sicuro. Mi basterebbe anche la conferma che il coefficiente di $y^4$ può apparire solo dalla derivata $(f_(yyyy)(0,0)) /24$ e che in questo caso risulta essere $1/24$? La derivata me l'ha fatta Wolfram, io avevo ricavato lo sviluppo in un altro modo.
Risposte
Vediamo, dovrebbe essere
[tex]$f(x,y)=(x-y)-\frac{(x-y)^3}{6}+\frac{(x-y)^5}{120}+1-\frac{(x^2+y)^2}{2}+\frac{(x^2+y)^4}{24}$[/tex]
per cui l'unico modo per ottenere [tex]$y^4$[/tex] è dall'ultima potenza e quindi il coefficiente è [tex]$\frac{1}{24}$[/tex].
[tex]$f(x,y)=(x-y)-\frac{(x-y)^3}{6}+\frac{(x-y)^5}{120}+1-\frac{(x^2+y)^2}{2}+\frac{(x^2+y)^4}{24}$[/tex]
per cui l'unico modo per ottenere [tex]$y^4$[/tex] è dall'ultima potenza e quindi il coefficiente è [tex]$\frac{1}{24}$[/tex].
Sì ciampax, però ad essere fiscali se ti tieni tutti quei termini non hai che sono un $o((x^2+y^2))^(5/2)$ e quindi non puoi considerarlo sviluppo di Taylor al quinto ordine! 
Comunque grazie della conferma, il mio prof deve aver proprio sbagliato, tra l'altro non è l'unico errore che c'è nello sviluppo e di solito non ce n'è uno che sia sbagliato di una virgola di risultato!
Comunque grazie della conferma, il mio prof deve aver proprio sbagliato, tra l'altro non è l'unico errore che c'è nello sviluppo e di solito non ce n'è uno che sia sbagliato di una virgola di risultato!
Ho semplicemente scritto i termini dai quali dovresti tirare fuori le potenze giuste, senza fare i conti (sono stanco morto e non mi va). Per quello che ti serviva, va più che bene. Tra l'altro è ovvio che, se vuoi arrestarti al quinto ordine, devi eliminare delle potenze di troppo. Un altra strada poteva essere quella di passare attraverso le formule di addizione/sottrazione del seno e del coseno e moltiplicare... ma di nuovo, non mi va di fare i conti! 
Non so quale dei due fosse meglio, comunque mi hai dato un'altra idea!
Chissà come mai da me sembra obbligatorio dover morire sulle derivate quinte piuttosto che usare scorciatoie!
Chissà come mai da me sembra obbligatorio dover morire sulle derivate quinte piuttosto che usare scorciatoie!
Ma perché fare le derivate? La forza del teorema di Taylor e degli sviluppi sta proprio nel fatto che, conoscendo quelli di McLaurin si può arrivare a sviluppare qualsiasi cosa, facendo le dovute trasformazioni e sostituzioni. Mettersi a calcolare le derivate è, a mio parere, da fessi (ed evidenzia la non completa comprensione dello strumento "polinomio di Taylor"!)
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