Sviluppo di Taylor
Ho questo rapporto di trasmissione per un giunto Cardanico:
\(\displaystyle \tau =\frac{cos\alpha }{1-sin^{2}\alpha\cdot sin^{2}\varphi } \)
Il testo dice che nel caso in cui l'angolo \(\displaystyle \alpha \) compreso tra gli assi dei due alberi sia piccolo, l'espressione precedente può essere ridotta a questa:
\(\displaystyle \tau =1-\frac{\alpha ^{2}}{2}cos\left ( 2\varphi \right ) \)
Immagino che sia uno sviluppo di Taylor che trascura i termini in \(\displaystyle \alpha \) di grado superiore al secondo, ma non riesco a visualizzare i passaggi.
Un aiutino? Grazie.
\(\displaystyle \tau =\frac{cos\alpha }{1-sin^{2}\alpha\cdot sin^{2}\varphi } \)
Il testo dice che nel caso in cui l'angolo \(\displaystyle \alpha \) compreso tra gli assi dei due alberi sia piccolo, l'espressione precedente può essere ridotta a questa:
\(\displaystyle \tau =1-\frac{\alpha ^{2}}{2}cos\left ( 2\varphi \right ) \)
Immagino che sia uno sviluppo di Taylor che trascura i termini in \(\displaystyle \alpha \) di grado superiore al secondo, ma non riesco a visualizzare i passaggi.
Un aiutino? Grazie.
Risposte
Allora lo sviluppo di Taylor per funzioni ha più variabili è abbastanza orrendo, comunque la formula utilizzata è la seguente:
$T(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)+1/(1!)*[(x-x_0)*(partial f)/(partial x) (x_0,y_0) + (y-y_0)*(partial f)/(partial y) (x_0,y_0) ] +$
$1/(2!)*[(x-x_0)^2*(partial^2 f)/(partial x^2) (x_0,y_0)+ (y-y_0)^2*(partial^2 f)/(partial y^2) (x_0,y_0)+2(x-x_0)(y-y_0)*(partial f)/(partial xy)(x_0,y_0)]+$
$R(x_0,y_0)$
Il tuo punto è $(0,phi)$, quindi:
$T(0,phi)=f(0,phi)+1/(1!)*[alpha*(partial f)/(partial alpha) (0,phi)] + 1/(2!)[alpha^2*(partial^2 f)/(partial alpha^2) (0,phi)]+ R(0,phi)$
La tua $f$ è $f(alpha,phi)=cos(alpha)/(1-sin^2(alpha)*sin^2(phi))$, calcoliamo tutto:
$f(0,phi)=cos(0)/(1-sin^2(0)sin^2(phi))=1/1=1$
$(partial f)/(partial alpha) (alpha,phi)=(sin(a) (-1+2 cos^2(a) sin^2(ϕ)+sin^2(a) sin^2(ϕ)))/(-1+sin^2(a) sin^2(ϕ))^2->(partial f)/(partial alpha) (0,phi)=0$
$(partial^2 f)/(partial alpha^2) (alpha,phi)=cos(alpha)^3·sin(phi)^2·(sin(alpha)^2·sin(phi)^2 + 3)/(1 - sin(alpha)^2·sin(phi)^2)^3 + $
$ cos(alpha)·(sin(alpha)^2·sin(phi)^2·(5·cos(phi)^2 - 2) + sin(phi)^2 + 1)/(sin(alpha)^2·sin(phi)^2 - 1)^3 -> (partial^2 f)/(partial alpha^2) (0,phi) = -cos(2phi)$
Ora sostituiamo:
$T(0,phi)=1 + 1/(1!)*[alpha*0] + 1/(2!)[alpha^2*-cos(2phi)]+ R(0,phi)=1-alpha^2/2*cos(2phi) + R(0,phi)$
$T(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)+1/(1!)*[(x-x_0)*(partial f)/(partial x) (x_0,y_0) + (y-y_0)*(partial f)/(partial y) (x_0,y_0) ] +$
$1/(2!)*[(x-x_0)^2*(partial^2 f)/(partial x^2) (x_0,y_0)+ (y-y_0)^2*(partial^2 f)/(partial y^2) (x_0,y_0)+2(x-x_0)(y-y_0)*(partial f)/(partial xy)(x_0,y_0)]+$
$R(x_0,y_0)$
Il tuo punto è $(0,phi)$, quindi:
$T(0,phi)=f(0,phi)+1/(1!)*[alpha*(partial f)/(partial alpha) (0,phi)] + 1/(2!)[alpha^2*(partial^2 f)/(partial alpha^2) (0,phi)]+ R(0,phi)$
La tua $f$ è $f(alpha,phi)=cos(alpha)/(1-sin^2(alpha)*sin^2(phi))$, calcoliamo tutto:
$f(0,phi)=cos(0)/(1-sin^2(0)sin^2(phi))=1/1=1$
$(partial f)/(partial alpha) (alpha,phi)=(sin(a) (-1+2 cos^2(a) sin^2(ϕ)+sin^2(a) sin^2(ϕ)))/(-1+sin^2(a) sin^2(ϕ))^2->(partial f)/(partial alpha) (0,phi)=0$
$(partial^2 f)/(partial alpha^2) (alpha,phi)=cos(alpha)^3·sin(phi)^2·(sin(alpha)^2·sin(phi)^2 + 3)/(1 - sin(alpha)^2·sin(phi)^2)^3 + $
$ cos(alpha)·(sin(alpha)^2·sin(phi)^2·(5·cos(phi)^2 - 2) + sin(phi)^2 + 1)/(sin(alpha)^2·sin(phi)^2 - 1)^3 -> (partial^2 f)/(partial alpha^2) (0,phi) = -cos(2phi)$
Ora sostituiamo:
$T(0,phi)=1 + 1/(1!)*[alpha*0] + 1/(2!)[alpha^2*-cos(2phi)]+ R(0,phi)=1-alpha^2/2*cos(2phi) + R(0,phi)$
lordb, ma perché tutto sto casino di conti? Basta ricordare che
$1/{1-t}=1+t+o(t),\ \sin^2 t=t^2+o(t^2),\ \cos t=1-t^2/2+o(t^2)$
e si ha
$\tau=(1-\alpha^2/2+o(\alpha^2))\cdot(1+\sin^2\alpha\ \sin^2\phi+o(\sin^2\alpha))=$
$=(1-\alpha^2/2+o(\alpha^2))\cdot(1+\alpha^2\ \sin^2\phi+o(\alpha^2))=1-\alpha^2/2+\alpha^2\ \sin^2\phi+o(\alpha^2)=$
$=1-(1-2\sin^2\phi)/2\ \alpha^2+o(\alpha^2)$
e usare infine la formula di duplicazione del coseno.
$1/{1-t}=1+t+o(t),\ \sin^2 t=t^2+o(t^2),\ \cos t=1-t^2/2+o(t^2)$
e si ha
$\tau=(1-\alpha^2/2+o(\alpha^2))\cdot(1+\sin^2\alpha\ \sin^2\phi+o(\sin^2\alpha))=$
$=(1-\alpha^2/2+o(\alpha^2))\cdot(1+\alpha^2\ \sin^2\phi+o(\alpha^2))=1-\alpha^2/2+\alpha^2\ \sin^2\phi+o(\alpha^2)=$
$=1-(1-2\sin^2\phi)/2\ \alpha^2+o(\alpha^2)$
e usare infine la formula di duplicazione del coseno.
Probabilmente qualcuno mi aveva messo qualche droga nel caffè 
@Steno
Ciao!
Formalismo ottimamente rispettato
(d'altronde si parla d'un lord
),
ma se hai esigenza di proseguire più "rozzolanamente" potresti osservare che,
arrestando come hai intuito al secondo ordine gli sviluppi di Taylor delle funzioni di una variabile reale
$f(x)=sinx,g(x)=cosx:RR->RR$,
avrai $(cos alpha)/(1-sin^2alphasin^2varphi)=(1-(alpha^2)/2+o(alpha^2))/(1-[alpha+o(alpha^2)]^2(1-cos2varphi)/2)sim(1-(alpha^2)/2)/(1-(alpha^2)/2+(alpha^2)/2cos2varphi)$:
a quel punto arresti al primo ordine lo sviluppo della funzione di una variabile reale definita dalla legge $h(t)=(1-t)/(1-t+tcos2varphi)$
(tanto $varphi$ è fissato per sempre nella storia del mondo,si direbbe dal tuo post iniziale..),
e,sempre a meno d'infinitesimi,hai la tua "uguaglianza"!
Saluti dal web.
Edir
@Ciampax
Pardon:
avevo dimenticato la possibilità della contemporaneità,
mentre scrivevo offline prima d'inviare la risposta ad un quesito adocchiato all'ora di pranzo !
Ciao!
"lordb":
Allora lo sviluppo di Taylor per funzioni ha più variabili è abbastanza orrendo, comunque la formula utilizzata è la seguente:
$T(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)+1/(1!)*[(x-x_0)*(partial f)/(partial x) (x_0,y_0) + (y-y_0)*(partial f)/(partial y) (x_0,y_0) ] +$
$1/(2!)*[(x-x_0)^2*(partial^2 f)/(partial x^2) (x_0,y_0)+ (y-y_0)^2*(partial^2 f)/(partial y^2) (x_0,y_0)+2(x-x_0)(y-y_0)*(partial f)/(partial xy)(x_0,y_0)]+$
$R(x_0,y_0)$
Il tuo punto è $(0,phi)$, quindi:
$T(0,phi)=f(0,phi)+1/(1!)*[alpha*(partial f)/(partial alpha) (0,phi)] + 1/(2!)[alpha^2*(partial^2 f)/(partial alpha^2) (0,phi)]+ R(0,phi)$
La tua $f$ è $f(alpha,phi)=cos(alpha)/(1-sin^2(alpha)*sin^2(phi))$, calcoliamo tutto:
$f(0,phi)=cos(0)/(1-sin^2(0)sin^2(phi))=1/1=1$
$(partial f)/(partial alpha) (alpha,phi)=(sin(a) (-1+2 cos^2(a) sin^2(ϕ)+sin^2(a) sin^2(ϕ)))/(-1+sin^2(a) sin^2(ϕ))^2->(partial f)/(partial alpha) (0,phi)=0$
$(partial^2 f)/(partial alpha^2) (alpha,phi)=cos(alpha)^3·sin(phi)^2·(sin(alpha)^2·sin(phi)^2 + 3)/(1 - sin(alpha)^2·sin(phi)^2)^3 + $
$ cos(alpha)·(sin(alpha)^2·sin(phi)^2·(5·cos(phi)^2 - 2) + sin(phi)^2 + 1)/(sin(alpha)^2·sin(phi)^2 - 1)^3 -> (partial^2 f)/(partial alpha^2) (0,phi) = -cos(2phi)$
Ora sostituiamo:
$T(0,phi)=1 + 1/(1!)*[alpha*0] + 1/(2!)[alpha^2*-cos(2phi)]+ R(0,phi)=1-alpha^2/2*cos(2phi) + R(0,phi)$
Formalismo ottimamente rispettato
(d'altronde si parla d'un lord
),ma se hai esigenza di proseguire più "rozzolanamente" potresti osservare che,
arrestando come hai intuito al secondo ordine gli sviluppi di Taylor delle funzioni di una variabile reale
$f(x)=sinx,g(x)=cosx:RR->RR$,
avrai $(cos alpha)/(1-sin^2alphasin^2varphi)=(1-(alpha^2)/2+o(alpha^2))/(1-[alpha+o(alpha^2)]^2(1-cos2varphi)/2)sim(1-(alpha^2)/2)/(1-(alpha^2)/2+(alpha^2)/2cos2varphi)$:
a quel punto arresti al primo ordine lo sviluppo della funzione di una variabile reale definita dalla legge $h(t)=(1-t)/(1-t+tcos2varphi)$
(tanto $varphi$ è fissato per sempre nella storia del mondo,si direbbe dal tuo post iniziale..),
e,sempre a meno d'infinitesimi,hai la tua "uguaglianza"!
Saluti dal web.
Edir
@Ciampax
Pardon:
avevo dimenticato la possibilità della contemporaneità,
mentre scrivevo offline prima d'inviare la risposta ad un quesito adocchiato all'ora di pranzo
!
@lord: in ogni caso è bene far vedere come si macinino i conti in questi casi, altrimenti la gente si convince che ci sia sempre una scorciatoia mentre, spesso, bisogna sudare un bel po' prima di tirare fuori quello che serve!
@theras: e qual è il problema? Se più gente usa gli stessi argomenti, chi chiede informazioni può rendersi conto che 1) ci sono svariate vie di affronatre un problema e 2) che esiste una teoria consolidata, precisa e puntuale, da seguire e che anche altri conoscono.
@theras: e qual è il problema? Se più gente usa gli stessi argomenti, chi chiede informazioni può rendersi conto che 1) ci sono svariate vie di affronatre un problema e 2) che esiste una teoria consolidata, precisa e puntuale, da seguire e che anche altri conoscono.
"ciampax":
@theras: e qual è il problema?
Nessuno,in effetti,se non quello personale della mia senilità incombente
che mi fa scordare sempre il rischio di contemporaneità:se lo riuscissi a tenere a mente,ad esempio,
potrei usare in casi del genere locuzioni introduttive del tipo "oppure,in modo equivalente,osserva.."!
"ciampax":
Se più gente usa gli stessi argomenti, chi chiede informazioni può rendersi conto che 1) ci sono svariate vie di affronatre un problema e 2) che esiste una teoria consolidata, precisa e puntuale, da seguire e che anche altri conoscono.
Ne convengo alla grande,in generale,pur non essendo nello specifico,come dovrei averti detto anche se non ricordo
(piccola citazione cinematografica della quale mementaneamente mi sfugge il titolo
),un fan sfegatato degli sviluppi di Taylor:
saluti dal web.
Ringrazio tutti per le esaudienti risposte! Ora è chiarissimo 
"theras":
Formalismo ottimamente rispettato
(d'altronde si parla d'un lord
Ahah ti ringrazio, troppo gentile
Anche il tuo metodo, del tutto simile a quello di ciampax, è molto valido! "ciampax":
@lord: in ogni caso è bene far vedere come si macinino i conti in questi casi, altrimenti la gente si convince che ci sia sempre una scorciatoia mentre, spesso, bisogna sudare un bel po' prima di tirare fuori quello che serve!
Sono d'accordo, tuttavia poter vedere la risoluzione di un problema con approcci diversi fa solo bene
!
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