Sviluppo di Taylor

[el principe]

Non riesco a risolvere questo limite:
$lim_(x->0) (x^3(e^x-cosx))/(x^2-sen^2x)$
qualcuno mi può aiutare?

[gugo82]

Beh, sviluppa un po' con Taylor... Non sembra complicato (quello di prima era più brutto).

[el principe]

$lim_(x->0) (x^3(e^x-cosx))/(x^2-sen^2x)$
allora:
$lim_(x->0) (x^3(1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)-(1-x^2/2+o(x^3))))/(x^2-(x-x^3/6+o(x^4))^2)$
$lim_(x->0) (x^3(x+x^2+x^3/6+o(x^3)))/(x^2-(x^2+x^6/36-x^4/3+o(x^4)))$
$lim_(x->0) (x^4+x^5+x^6/6+o(x^3))/(-x^6/36+x^4/3+o(x^4))$

e poi? non sono sicuro che sta bene

[gugo82]

Allora: con l'esponenziale puoi fermarti anche al termine di secondo grado (infatti rimane quel [tex]$x$[/tex] libero e perciò la funzione [tex]$e^x-\cos x$[/tex] è infinitesima d'ordine [tex]$1$[/tex]); al denominatore tutto a posto.

Altra osservazione: occhio agli ordini degli [tex]$\text{o}$[/tex]-piccoli.

[el principe]

xk? quale ordine ho sbagliato?

[gugo82]

C'è un [tex]$x^6$[/tex], ma esso va inglobato in [tex]$\text{o} (x^4)$[/tex]... Proprio perchè [tex]$x^6$[/tex] è infinitesimo d'ordine superiore a [tex]$x^4$[/tex] in [tex]$0$[/tex].

[el principe]

Ah è vero scusa
quindi diventa:
$lim_(x->0) (x^3(1+x+x^2/2+o(x^2)-(1-x^2/2+o(x^3))))/(x^2-(x-x^3/6+o(x^4))^2)$
$lim_(x->0) (x^3(x+x^2+o(x^2)))/(x^2-(x^2+x^4/3+o(x^4)))$
$lim_(x->0) (x^4+x^5+o(x^5))/(x^4/3+o(x^4))$
giusto?

[gugo82]

Ok.
Quindi il limite vale?

[el principe]

3 grazie ancora per la tua pazienza gugo