Sviluppo di taylor

[mikelozzo]

ciao bimbi!!

scusate la domanda un po banale (della quale un po mi vergogno ) ma come si fa lo sviluppo di taylor di questo "aggeggio" xD:

$e^(-xsin(x))$ ???

gli sviluppi semplici sono:

$exp(y)=1+y+y^2/2+o(x^2)$ e $sin(y)= y-1/6y^3+o(x^3)$ ma come faccio a comporli??

a me l'unica cosa che è venuta in mente è che $e^(-xsin(x))=(e^(-x))^sin(x)$ ed ho provato a svilupparlo ma mi perdo...

che fare??? grazie ciao!!!!

mikelozzo...xD

[gugo82]

Di uno sviluppo simile si sta parlando qui.
Per ottenere il tuo basta moltiplicare una $x$ allo sviluppo dell'esponente.

[mikelozzo]

va be...a questo ci ero gia arrivato....il problema è proprio il $-x$ perche non mi fa attuare la sostituzione $sin(y)=x$.....è proprio quello il problema!!!

[gugo82]

Oddio...

$sin x=\sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!) x^(2n+1) => -x sinx=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^(n+1)/((2n+1)!) x^(2(n+1))$

visto che la moltiplicazione di una serie per uno scalare si fa termine a termine.
Quindi basta che usi l'ultima serie per sostituire nello sviluppo di $e^y$.

[mikelozzo]

quindi è $-x^2+1/6x^4 + o(x^4)$ ?? giusto??

ok...però se mi trovo un'altra volta in questa situazione come faccio a ricavarmi questo sviluppo in forma di SOMMATORIA senza sbagliare??
c'è un metodo veloce??

PS. perche "oddio"??

[gugo82]

"mikelozzo":quindi è $-x^2+1/6x^4 + o(x^4)$ ?? giusto??

Sì.

"mikelozzo":ok...però se mi trovo un'altra volta in questa situazione come faccio a ricavarmi questo sviluppo in forma di SOMMATORIA senza sbagliare??
c'è un metodo veloce??

Metodo veloce: ricordarsi gli sviluppi elementari e ricordare come si opera con le serie numeriche... Meglio di così?

Poi alcuni trucchi per ricordarsi a volo le serie notevoli si imparano man mano, studiando con un po' di criterio: ad esempio $sinx$:

- è funzione dispari, quindi nello sviluppo di Taylor ci sono solo potenze dispari;
- è collegata all'esponenziale (complesso, per via della formula di Eulero), quindi i coefficienti contengono al denominatore i fattoriali degli esponenti delle potenze corrispondenti;
- è a segni alterni, per via delle relazioni tra i coefficienti dello sviluppo in serie di una soluzione dell'e.d.o. $y''+y=0$;
- il primo coefficiente è $1$, visto che $lim_(x\to 0) (sinx)/x=1$;

quindi $sinx=\sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!) x^(2n+1)$.

"mikelozzo":PS. perche "oddio"??

Perchè è un trucco che si usa sempre; credevo fosse ovvio come si calcolasse quello sviluppo...