Sviluppo di Taylor 1/cos(x)
Come da titolo ho un problema nel determinare lo sviluppo di Taylor della funzione $ f(x)=1/cos(x) $ centrata in 0 all'ordine 5 .
Mi riconduco allo sviluppo di $ f(x)=1/(1-x) $ in questo modo:
$ 1/cos(x)=1/(1-1+cos(x))=1/(1-(1-cos(x)) $
$ 1-cos(x)= x^2/2-x^4/24+o(x^5) $
Il problema è che quando sostituisco non so come trattare
$ o(1-cos(x))=o(x^2/2-x^4/24+o(x^5)) $
Inoltre non so bene quando fermarmi nello sviluppo. Mi fermerei all'ordine 1,ma a quanto pare sbaglio qualcosa poichè il risultato non viene. Sapreste chiarirmi questi due dubbi ed eventualmente scrivermi lo sviluppo? Grazie in anticipo.
Mi riconduco allo sviluppo di $ f(x)=1/(1-x) $ in questo modo:
$ 1/cos(x)=1/(1-1+cos(x))=1/(1-(1-cos(x)) $
$ 1-cos(x)= x^2/2-x^4/24+o(x^5) $
Il problema è che quando sostituisco non so come trattare
$ o(1-cos(x))=o(x^2/2-x^4/24+o(x^5)) $
Inoltre non so bene quando fermarmi nello sviluppo. Mi fermerei all'ordine 1,ma a quanto pare sbaglio qualcosa poichè il risultato non viene. Sapreste chiarirmi questi due dubbi ed eventualmente scrivermi lo sviluppo? Grazie in anticipo.
Risposte
Si,grazie... Il punto è che devo imparare bene a sfruttare gli sviluppi "notevoli", non posso perdere 2 ore per svolgere lo sviluppo a mano.
Ti ringrazio per la risposta. Ecco in merito al secondo metodo, che è quello a cui mi riferivo. Come mai ti sei fermato all'ordine 2? Ovvero a $ (x^2/2-x^4/24+o(x^5))^2 $ inoltre $ o(x^2/2-x^4/24+o(x^5))^2 $ come lo hai trattato?
Ma $ (o(x^4))^2=o(x^8) $ ? Non capisco perchè ti viene alla 6
Perfetto, hai fatto il cubo del trinomio, mentre io mi limitavo a fare il quadrato del binomio e elevare o piccolo a parte,considerandolo come un'entità a sé. Sbagliando.
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