Sviluppo di Taylor
Buongiorno,
ho qualche dubbio riguardo il seguente esercizio:
TESTO:
Sia $a ∈ R$ e sia $f : R → R$ tre volte derivabile e tale che, per $x → 2$,
$f(x) = a + (a^3 + a^
2 − 12a)(x − 2) + (a^
3 − a)(x − 2)^2 + (a^
2 + 5)(x − 2)^3 + o((x − 2)^3
)$.
Stabilire per quali $a$ il grafico di $f$ presenta nel punto di ascissa $2$, uno dei seguenti comportamenti (specificando quale): massimo, minimo, flesso a tangente orizzontale.
Per risolvere questo esercizio potrei semplicemente fare un confronto grafico dei valori della derivata prima e della derivata seconda, tuttavia l'esercizio specifica anche il valore della derivata terza.
È un dato inutile o sono io a non aver capito qualcosa?
Grazie mille e buona giornata!
ho qualche dubbio riguardo il seguente esercizio:
TESTO:
Sia $a ∈ R$ e sia $f : R → R$ tre volte derivabile e tale che, per $x → 2$,
$f(x) = a + (a^3 + a^
2 − 12a)(x − 2) + (a^
3 − a)(x − 2)^2 + (a^
2 + 5)(x − 2)^3 + o((x − 2)^3
)$.
Stabilire per quali $a$ il grafico di $f$ presenta nel punto di ascissa $2$, uno dei seguenti comportamenti (specificando quale): massimo, minimo, flesso a tangente orizzontale.
Per risolvere questo esercizio potrei semplicemente fare un confronto grafico dei valori della derivata prima e della derivata seconda, tuttavia l'esercizio specifica anche il valore della derivata terza.
È un dato inutile o sono io a non aver capito qualcosa?
Grazie mille e buona giornata!
Risposte
Ciao xyz34567,
Sta cercando di farti usare il metodo delle derivate successive; potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
Nota che il coefficiente del termine $(x - 2)^3 $, proporzionale alla derivata terza, è $a^2 + 5 $ che è sempre positivo $\AA a \in \RR $
Sta cercando di farti usare il metodo delle derivate successive; potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
Nota che il coefficiente del termine $(x - 2)^3 $, proporzionale alla derivata terza, è $a^2 + 5 $ che è sempre positivo $\AA a \in \RR $
Grazie mille!
Quindi l'informazione sulla derivata terza mi serve per studiare il caso in cui anche la derivata seconda sia nulla.
In questo caso è un punto di flesso ascendente perchè la derivata terza (dispari) è positiva.
Grazie ancora e buona giornata!
Quindi l'informazione sulla derivata terza mi serve per studiare il caso in cui anche la derivata seconda sia nulla.
In questo caso è un punto di flesso ascendente perchè la derivata terza (dispari) è positiva.
Grazie ancora e buona giornata!
Scusami ancora,
potresti per favore aiutarmi a dimostrarlo?
Stavo pensando di dimostrarlo con lo sviluppo di Taylor ma non capisco come dimostrare che se la derivata diversa da zero è di ordine dispari allora la funzione abbia un punto di flesso.
Per i massimi e i minimi pensavo di fare così:
Per ipotesi so che $f$ è derivabile $n$ volte con derivate nulle fino all'ordine $f^(n-1)$, dunque:
$f(x)=f(x_0)+f^n(x_0)+o((x-x_0)^n)$.
Dunque:
$f(x)-f(x_0)=f^n(x_0)+o((x-x_0)^n)$
Gli infinitesimi di ordine superiore non incidono sul segno del secondo membro perchè $f^n(x_0)+o((x-x_0)^n)~~f^n(x_0)$ per $x->x_0$.
Se $f^n(x_0)>0=>f(x)>f(x_0)$ in un intorno di $x_0$, dunque la funzione ha un punto di minimo, viceversa ha un massimo per lo stesso motivo.
Quello che non capisco però è cosa cambi se $n$ è pari o dispari. Apparentemente il ragionamento mi sembra indipendente da questo.
Dove sbaglio?
Grazie!
potresti per favore aiutarmi a dimostrarlo?
Stavo pensando di dimostrarlo con lo sviluppo di Taylor ma non capisco come dimostrare che se la derivata diversa da zero è di ordine dispari allora la funzione abbia un punto di flesso.
Per i massimi e i minimi pensavo di fare così:
Per ipotesi so che $f$ è derivabile $n$ volte con derivate nulle fino all'ordine $f^(n-1)$, dunque:
$f(x)=f(x_0)+f^n(x_0)+o((x-x_0)^n)$.
Dunque:
$f(x)-f(x_0)=f^n(x_0)+o((x-x_0)^n)$
Gli infinitesimi di ordine superiore non incidono sul segno del secondo membro perchè $f^n(x_0)+o((x-x_0)^n)~~f^n(x_0)$ per $x->x_0$.
Se $f^n(x_0)>0=>f(x)>f(x_0)$ in un intorno di $x_0$, dunque la funzione ha un punto di minimo, viceversa ha un massimo per lo stesso motivo.
Quello che non capisco però è cosa cambi se $n$ è pari o dispari. Apparentemente il ragionamento mi sembra indipendente da questo.
Dove sbaglio?
Grazie!
Attenzione! Nello sviluppo di Taylor manca il termine più importante (ovvero quello polinomiale):
$f(x) = f(x_0) + f^n (x_0)(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$
Da qui si capisce perché bisogna distinguere il caso pari e dispari.
Ad esempio, se supponiamo che $n=2$, allora $(x-x_0)^2$ sarà sempre positivo, dunque il segno in un intorno di $x_0$ di $f(x)-f(x_0)$ è dato unicamente dal segno di $f"(x_0)$.
Se invece $n=3$, allora $(x-x_0)^3$ ha segno variabile, se seconda che sei a destra o sinistra di $x_0$!
$f(x) = f(x_0) + f^n (x_0)(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$
Da qui si capisce perché bisogna distinguere il caso pari e dispari.
Ad esempio, se supponiamo che $n=2$, allora $(x-x_0)^2$ sarà sempre positivo, dunque il segno in un intorno di $x_0$ di $f(x)-f(x_0)$ è dato unicamente dal segno di $f"(x_0)$.
Se invece $n=3$, allora $(x-x_0)^3$ ha segno variabile, se seconda che sei a destra o sinistra di $x_0$!
Hai ragione, grazie e buona serata!
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