Sviluppo di Taylor

[zita97]

\(\displaystyle \int_{x^2}^{2x^2}\frac {e^{-t}-1}t\,dt \)

Salve devo calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 e centeo 0 della seguente funzione ma non so da dove partire Qualcuno può mostrarmi per favore?

[bosmer-votailprof]

Beh per la formula di derivazione della funzione integrale ( che si dimostra banalmente in due passaggi ) hai che se
$$
F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt
$$
allora
$$
F'(x)=f(h(x))*h'(x)-f(g(x))*g'(x)
$$
Da qui calcolare le altre derivate è tutto in discesa(si fa per dire) visto che non c'è più l'integrale che immagino ti faccia paura...

Probabilmente ti fa paura anche $F(0)$ però basta notare che se sostituisci ad ogni $x$ il valore zero hai che
$$
F(0)=\int_0^0f(t)dt
$$
adesso quale che sia $f(t)$ l'integrale in un "intervallo degenere"(parolone per dire l'integrale in un punto) è sempre zero, infatti non c'è nessuna area sottesa al grafico, al massimo ci sarebbe un segmento sotteso al grafico, ma un segmento come ben sai ha area nulla. Quindi $F(0)=0$.

Da qui in poi dovresti sapercela fare