Sviluppo di Taylor
Se in un limite mi viene mettiamo caso al numeratore un'espressione di questo tipo $x^(2)+x^(3)-x^(4)+x^(6)-x^(7)+o[x^(4)]$ i termini $x^(6)-x^(7)$ durante il calcolo posso cancellarli?
Risposte
Supponendo che $ x->0 $ dipende. Se ti serve di sviluppare fino all'ordine 4 o 5 allora si puoi ometterli perchè sono $ o (x^4) $ altrimenti no. Se per esempio al denominatore c'è un termine di grado 7 allora devi tenerli tutti.
Grazie, però molte volte lo tralascio perché cerco di far venire numeratore e denominatore con lo stesso grado!
In generale, in un limite, puoi cancellare tutti i termini che hanno esponente più grande dell'esponente minimo. In questo caso, il solo termine $x^2$ è sufficiente a dare informazioni sulla funzione e tutti gli altri termini sono inutili.
capito!
"Vulplasir":
In generale, in un limite, puoi cancellare tutti i termini che hanno esponente più grande dell'esponente minimo. In questo caso, il solo termine $x^2$ è sufficiente a dare informazioni sulla funzione e tutti gli altri termini sono inutili.
Per esempio in questo esercizio mi ritrovo nell'ultimo passaggio così $lim (x->0) (3x^(2)-9x^(6)+o[x^(4)])/x^(4)$ il termine $-9x^(6)$ posso cancellarlo?
Si, al numeratore il tutto diventa $3x^2+o(x^2)$
"Vulplasir":
Si, al numeratore il tutto diventa $3x^2+o(x^2)$
e se fosse stato fratto $x^(7)$
Sarebbe lo stesso. Tutto ciò che ha grado maggiore di $2$ al numeratore è un o-piccolo di $x^2$, pertanto nel calcolo del limite non conta nulla. Quando si risolve un limite con taylor bisogna sviluppare fino al primo termine non-nullo, una volta trovato il primo termine non nullo, tutto il resto è irrilevante perché è un infinitesimo di ordine maggiore, ossia tende a zero più velocemente del primo termine non nullo.
in che senso al primo termine non nullo?
Per esempio se hai il limite:
$lim x->0 (sinx-x)/x$, sviluppi taylor al numeratore:
$sinx=x-x^3/6$
$x=x$
Quindi il numeratore diventa: $x-x^3/6-x=-x^3/6$, come vedi al numeratore hai ottenuto qualcosa di diverso da 0, questo perché ho sviluppato sinx come $sinx=x-x^3/6$, se avessi sviluppato sinx come $sinx=x$ (ovvero una approssimazione al primo ordine) al numeratore avrei ottenuto $sinx-x=x-x=0$ -> che è qualcosa uguale a zero, e non va bene ai fini della determinazione del limite, quindi bisogna approssimare sinx ad un ordine maggiore, quindi l'ho approssimato fino a $x^3/6$, ma niente mi vietava di approssimarlo fino al quinto ordine $sinx=x-x^3/6+x^5/(5!)$, ottenendo al numeratore: $sinx-x=x-x^3/6+x^5/(5!)-x=-x^3/6+x^5/(5!)$, ma per quanto detto prima, il termine in x^5 si può omettere dato che è un o-piccolo di $x^3$, che è appunto quello che io chiamo primo termine non nullo.
$lim x->0 (sinx-x)/x$, sviluppi taylor al numeratore:
$sinx=x-x^3/6$
$x=x$
Quindi il numeratore diventa: $x-x^3/6-x=-x^3/6$, come vedi al numeratore hai ottenuto qualcosa di diverso da 0, questo perché ho sviluppato sinx come $sinx=x-x^3/6$, se avessi sviluppato sinx come $sinx=x$ (ovvero una approssimazione al primo ordine) al numeratore avrei ottenuto $sinx-x=x-x=0$ -> che è qualcosa uguale a zero, e non va bene ai fini della determinazione del limite, quindi bisogna approssimare sinx ad un ordine maggiore, quindi l'ho approssimato fino a $x^3/6$, ma niente mi vietava di approssimarlo fino al quinto ordine $sinx=x-x^3/6+x^5/(5!)$, ottenendo al numeratore: $sinx-x=x-x^3/6+x^5/(5!)-x=-x^3/6+x^5/(5!)$, ma per quanto detto prima, il termine in x^5 si può omettere dato che è un o-piccolo di $x^3$, che è appunto quello che io chiamo primo termine non nullo.
grazie mille !:)
"Vulplasir":
Per esempio se hai il limite:
$lim x->0 (sinx-x)/x$, sviluppi taylor al numeratore:
$sinx=x-x^3/6$
$x=x$
Quindi il numeratore diventa: $x-x^3/6-x=-x^3/6$, come vedi al numeratore hai ottenuto qualcosa di diverso da 0, questo perché ho sviluppato sinx come $sinx=x-x^3/6$, se avessi sviluppato sinx come $sinx=x$ (ovvero una approssimazione al primo ordine) al numeratore avrei ottenuto $sinx-x=x-x=0$ -> che è qualcosa uguale a zero, e non va bene ai fini della determinazione del limite, quindi bisogna approssimare sinx ad un ordine maggiore, quindi l'ho approssimato fino a $x^3/6$, ma niente mi vietava di approssimarlo fino al quinto ordine $sinx=x-x^3/6+x^5/(5!)$, ottenendo al numeratore: $sinx-x=x-x^3/6+x^5/(5!)-x=-x^3/6+x^5/(5!)$, ma per quanto detto prima, il termine in x^5 si può omettere dato che è un o-piccolo di $x^3$, che è appunto quello che io chiamo primo termine non nullo.
Posso chiederti una cosa su cui ho un dubbio?
Quale sarebbe
"Vulplasir":
Quale sarebbe
Solitamente con taylor più mi spingo alto con il grado e più i calcoli si complicano, però ho probabilità maggiori di eliminare forme indeterminate. In questo esercizio $lim (x->0) (ln(x+1))/x^(a)$ se sviluppo il logaritmo fino al primo grado l'esercizio risulta essere semplice e mi viene che il limite è $+∞, a>1; 1, a=1; 0, a<1$ però ho notato che se mi spingevo al secondo grado uscivano tutte forme indeterminate...
Tutto ciò che ha un grado maggiore del primo termine non nullo non influisce in alcun modo sul limite, quando sviluppi $ln(1+x)$ al primo grado, ottieni $ln(1+x)=x+o(x)$, tutto ciò che c'è nell'o-piccolo è trascurabile e non influisce sul limite.
Solitamente con taylor più mi spingo alto con il grado e più i calcoli si complicano, però ho probabilità maggiori di eliminare forme indeterminate
No, le forme indeterminate non si eliminano con taylor, anche sviluppando con taylor la forma indeterminata 0/0 rimane, l'utilità dello sviluppo di taylor è quella di rendere questi $0/0$ "confrontabili" tra di loro, e questo avviene tramite i polinomi che sono le funzioni più semplici che possono essere confrontate tra loro e vedere quanto fa quel 0/0. Quando hai un limite che ti risulta 0/0, se usi taylor allora NON devi spingerti oltre il primo termine non nullo, quindi non è assolutamente vero che hai più probabilità di eliminare le forme indeterminate perché esse vengono eliminate e dipendono solo dal primo termine non nullo.
Esempio:
lim x->0 $ln(1+x)/x^2$
Taylor: ln(1+x)=$x+o(x)$, quindi il limite diventa:
$lim x->0 (x+o(x))/x^2=x/x^2=1/x=oo$
Come vedi l'opiccolo è stato trascurato perché non influisce sul limite, ma il limite dipende solo dal primo termine non nullo dello sviluppo di $ln(1+x)$, ossia $x$
lim x->0 $ln(1+x)/x^2$
Taylor: ln(1+x)=$x+o(x)$, quindi il limite diventa:
$lim x->0 (x+o(x))/x^2=x/x^2=1/x=oo$
Come vedi l'opiccolo è stato trascurato perché non influisce sul limite, ma il limite dipende solo dal primo termine non nullo dello sviluppo di $ln(1+x)$, ossia $x$
più o meno ho capito cosa intendi, grazie!
"Vulplasir":
Esempio:
lim x->0 $ln(1+x)/x^2$
Taylor: ln(1+x)=$x+o(x)$, quindi il limite diventa:
$lim x->0 (x+o(x))/x^2=x/x^2=1/x=oo$
Come vedi l'opiccolo è stato trascurato perché non influisce sul limite, ma il limite dipende solo dal primo termine non nullo dello sviluppo di $ln(1+x)$, ossia $x$
quindi se all' esercizio di prima avessi sviluppato al secondo grado, non mi sarebbe venuto l'esercizio?
Il risultato a qualsiasi ordine avessi sviluppato $ln(1+x)$ sarebbe sempre stato lo stesso, per quello che ti ho sempre detto: Ciò che conta è solo l'ordine più piccolo non nullo, tutto il resto è un o-piccolo!
Poni di svilupare $ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3$ al terzo ordine
Il limite di prima diventa:
lim x->0 $(x-x^2/2+x^3/3)/x^2$
Raccogli una $x$ al numeratore: $lim x->0 (x(1-x/2+x^2/3))/x^2=(1-x/2+x^2/3)/x=1/x=1/0=oo$
Poni di svilupare $ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3$ al terzo ordine
Il limite di prima diventa:
lim x->0 $(x-x^2/2+x^3/3)/x^2$
Raccogli una $x$ al numeratore: $lim x->0 (x(1-x/2+x^2/3))/x^2=(1-x/2+x^2/3)/x=1/x=1/0=oo$
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