Sviluppo di Taylor

[Fab996]

$o(x^(3)+x^(4)+x^(5)+o(x^(6)))^(10)$ quanto vale ? poi invece se non ci fosse l'esponente 10 varrebbe $o(x^(3))$ giusto?

[HaldoSax]

Ciao Fab996 . Dalla def. di o-piccolo $f=o(g)$ se

\begin{equation}
\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0
\end{equation}

Quindi:

ad esempio $x^3+x^4+x^5+o(x^6)=o(x^3)$?

\begin{equation}
\lim_{x \to 0}\frac{x^3+x^4+x^5+o(x^6)}{x^3}=0?
\end{equation}

Potrebbe far zero?

[Fab996]

La prima uguaglianza e falsa vale $x^(3)+o[x^(6)]$, giusto ?

[HaldoSax]

Forse non mi sono spiegato bene . Con $x^3+x^4+x^5+o(x^6)=o(x^3)$ intendevo dire questo:

$x^3+x^4+x^5+o(x^6)$ potrebbe essere un o-piccolo di $x^3$? verifichiamolo applicando la definizione. Prendiamo $f(x)=x^3+x^4+x^5+o(x^6)$ e $g(x)=x^3$, sostituiamole nella definizione e verifichiamo che il limita tenda a zero. Vale a dire:

\begin{equation}
\lim_{x\to 0}\frac{x^3+x^4+x^5+o(x^6)}{x^3}
\end{equation}

Tende a zero? Prova a fare i conti ma a me non pare.

[Fab996]

"HaldoSax":Forse non mi sono spiegato bene . Con $x^3+x^4+x^5+o(x^6)=o(x^3)$ intendevo dire questo:

$x^3+x^4+x^5+o(x^6)$ potrebbe essere un o-piccolo di $x^3$? verifichiamolo applicando la definizione. Prendiamo $f(x)=x^3+x^4+x^5+o(x^6)$ e $g(x)=x^3$, sostituiamole nella definizione e verifichiamo che il limita tenda a zero. Vale a dire:

\begin{equation}
\lim_{x\to 0}\frac{x^3+x^4+x^5+o(x^6)}{x^3}
\end{equation}

Tende a zero? Prova a fare i conti ma a me non pare.

Capito, quindi quell'espressione quanto varrebbe ?

[Camillo]

Raccogli $x^3 $ a numeratore.....

[HaldoSax]

Svolgendo i conti si otterrebbe:

\begin{equation}
\lim_{x \to 0}=\frac{x^3}{x^3}+\frac{x^4}{x^3}+\frac{x^5}{x^3}+\frac{o(x^6)}{x^3}=1
\end{equation}

Che palesemente non tende a zero. Quindi la $f(x)$ non è un o piccolo di $x^3$ ma di.............

[HaldoSax]

In effetti era più comodo raccogliere $x^3$

[Fab996]

"HaldoSax":Svolgendo i conti si otterrebbe:

\begin{equation}
\lim_{x \to 0}=\frac{x^3}{x^3}+\frac{x^4}{x^3}+\frac{x^5}{x^3}+\frac{o(x^6)}{x^3}=1
\end{equation}

Che palesemente non tende a zero. Quindi la $f(x)$ non è un o piccolo di $x^3$ ma di.............

Di 1... (?)

[HaldoSax]

No Fab996, dei provare un'altro grado di di x. Ad esempio $x$, $x^2$, $x^3$,$x^4$,$x^5$,$x^6$,$\frac{1}{x^100}$. Qualunque polinomio $x^a$ con $a\ge1$ è $o(1)$ se $x\rightarrow 0$. Quello che si deve fare in esercizi di questa tipologia è quello di trovare il massimo grado della x che rende vero il limite. Per capire meglio:
$x^3=o(x^2)$ $x^3$ è un o-piccolo di $x^2$ se $x\rightarrow 0$, perché:

\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2}=\lim_{x \to 0} x=0
\end{equation}

$x^3=o(x)$ $x^3$ è un o-piccolo di $x$ se $x\rightarrow 0$, perché:

\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x}=\lim_{x \to 0} x^2=0
\end{equation}

Ma $x^3\ne o(x^4)$ $x^3$ non è un o-piccolo di $x^4$ se $x\rightarrow 0$, perché:

\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^4}=\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\neq 0
\end{equation}

ATTENZIONE CHE PER $ x\rightarrow \infty$ VALE L'ESATTO CONTRARIO.
Spero di essere stato più chiaro.

[Fab996]

okok grazie ho capito!