Sviluppo di taylor?

[MementoMori2]

Ciao ragazzi, sto cercando di risolvere l'esercizio allegato

Inizialmente ho posto $ x- \pi /2 = t $ per $ t->0 $ , da ciò ho trasformato il limite in :

$ lim (per t ->0) ln( 1-cos t ) / ln (- 3 sint ) $

e ulteriormente in :

$ lim (per t ->0) ln( 1+ (- cos t )) / ln (1+ (- 3 sint-1) ) $

e da qui ho usato gli sviluppi notevoli del seno, coseno e log (x+1) ma il risultato che viene è 1 e non 2.

Fino al punto riportato è corretto? Potreste riportarmi i passaggi che giungono al risultato 2, grazie

[quantunquemente]

poniamo $t=pi/2-x$
si arriva a
$ lim_(t -> 0^+) (ln(1-cost))/(ln(3sent)) $
a questo punto,usiamo la formula di bisezione $1-cost=2sen^2t/2$ e quella di duplicazione $sent=2sint/2cost/2$
applicando le proprietà dei logaritmi si giunge a $ lim_(t -> 0^+)(ln2+2lnsin(t/2))/(ln6+lncos(t/2)+lnsin(t/2))=2 $

[donald_zeka]

$1-sinx=cos^2x/(1+sinx)$ da cui:

$ln(1-sinx)=ln(cos^2x)-ln(1+sinx)=2lncosx-ln(1+sinx)$

e anche: $ln(3cosx)=lncosx-ln(3)$

Si vede subito che il limite fa $2$ senza bisogno di Taylor o altre sostituzioni.

[MementoMori2]

Grazie ragazzi ma questo esercizio è da fare con Taylor so bene che ci sono altri modi, però è esplicitamente da risolvere con taylor, e a me con taylor non viene

[donald_zeka]

Non puoi applicare Taylor a $ln(1-cost)$ né tantomeno a $ln(-3sint)$ perché l'espansione di Taylor di $ln(1+x)$ si applica per $x$ che tende a $0$, nel tuo caso $-cost$ tende a $-1$, stessa cosa per $ln(-3sint)$...quindi se proprio vuoi applicare Taylor devi partire dalla definizione di serie di Taylor in $x_0$ e calcolarti le derivate prime, seconde, terze etcetera del numeratore e del denominatore...in un'oretta dovresti aver fatto, oppure risolverla come si risolverebbe normalmente.

[donald_zeka]

Anzi, no, non puoi proprio applicare Taylor a quelle funzioni, proprio perchè l'espansione di Taylor richiede che la funzione sia definita in $x_0$, ma la tua funzione non è definita in $t=0$, pertanto non c'é altra via.

[MementoMori2]

Si, hai ragione, distrattamente non me ne ero accorto, farò presente a chi ha fatto gli esercizi, grazie mille Vulplasir !