Sviluppo di successione
Salve a tutti!
Riscontro un problema in una dimostrazione:
$ sum_(i=m)^(n)iP_i=sum_(i=m)^(INF)iP_i-sum_(i=n+1)^(INF)iP_i $
Ora sapendo che
$ P_i=alphaP_(i-1)=(1-alpha)alpha^(i-1)P $
Voi affermereste che $ P=sum_(i=2)^(INF)P_i $ ?
Inoltre, sfruttando le precedenti proprietà non riesco a dimostrare che
$ sum_(i=m)^(n)iP_i=[(m(1-alpha)+alpha)/(1-alpha)]alpha^(m-1)P-[((n+1)(1-alpha)+alpha)/(1-alpha)]alpha^nP $
In tutto ciò, $ alpha $ è una probabilità, quindi inclusa tra 0 e 1. Sono sicuro che il passaggio di dividere la sommatoria in due sommatorie da m a infinito e da n+1 a infinito è fatto per poter ottenere da qualche parte $alfa$ potenza infinito e quindi porlo uguale a 0.
$ i $ è un intero positivo così come $m$ e $n$.
$P$ è un numero reale positivo.
Se qualcuno avesse idee ne sarei davvero grato!
Grazie!
Riscontro un problema in una dimostrazione:
$ sum_(i=m)^(n)iP_i=sum_(i=m)^(INF)iP_i-sum_(i=n+1)^(INF)iP_i $
Ora sapendo che
$ P_i=alphaP_(i-1)=(1-alpha)alpha^(i-1)P $
Voi affermereste che $ P=sum_(i=2)^(INF)P_i $ ?
Inoltre, sfruttando le precedenti proprietà non riesco a dimostrare che
$ sum_(i=m)^(n)iP_i=[(m(1-alpha)+alpha)/(1-alpha)]alpha^(m-1)P-[((n+1)(1-alpha)+alpha)/(1-alpha)]alpha^nP $
In tutto ciò, $ alpha $ è una probabilità, quindi inclusa tra 0 e 1. Sono sicuro che il passaggio di dividere la sommatoria in due sommatorie da m a infinito e da n+1 a infinito è fatto per poter ottenere da qualche parte $alfa$ potenza infinito e quindi porlo uguale a 0.
$ i $ è un intero positivo così come $m$ e $n$.
$P$ è un numero reale positivo.
Se qualcuno avesse idee ne sarei davvero grato!
Grazie!
Risposte
Dacci notizie sulle tue conoscenze di base in merito a serie numeriche e di funzioni,e ne riparliamo 
:
ad ogni modo direi che l'indice $i$,nella tua espressione di P come somma di quella serie numerica,
deve ad occhio partire da $1$..
Saluti dal web.
:ad ogni modo direi che l'indice $i$,nella tua espressione di P come somma di quella serie numerica,
deve ad occhio partire da $1$..
Saluti dal web.
"theras":
Dacci notizie sulle tue conoscenze di base in merito a serie numeriche e di funzioni,e ne riparliamo
ad ogni modo direi che l'indice $i$,nella tua espressione di P come somma di quella serie numerica,
deve ad occhio partire da $1$..
Saluti dal web.
Le mie conoscenze sulle serie sono state date nel corso di analisi 1 al 1° anno di università, sono quindi -purtroppo- abbastanza lontane.
Sono sicuro che $i$ parta rigorosamente da 2, questo perché queste equazioni descrivono una distribuzione di popolazione (polimero) che deriva da un monomero.
Il monomero è l'elemento per il quale i=1 e viene trattato separatamente dal resto delle equazioni.
Rigorosamente parlando quindi, la sommatoria parte con i=2. Detto questo, nei casi pratici la sommatoria arriva anche fino a 10^6 quindi in termini di $P$, farla partire da 2 o da 1 non credo sconvolga il risultato finale. Se farla partire da 1 aiuta, ben venga!
Gli argomenti da ripassare sono allora "serie geometrica di ragione $q$"
(in particolar modo la somma cui essa converge quando $|q|<1$..)
e "teorema di derivazione d'una successione di funzioni"
(magari questo l'hai trattato in Analisi II):
uniti all'osservare come una costante moltiplicativa presente nel termine generale d'una serie numerica convergente possa esser "messa in evidenza",
e ad un paio di conti salutari,
dovrebbero bastare ai tuoi fini..
Saluti dal web.
(in particolar modo la somma cui essa converge quando $|q|<1$..)
e "teorema di derivazione d'una successione di funzioni"
(magari questo l'hai trattato in Analisi II):
uniti all'osservare come una costante moltiplicativa presente nel termine generale d'una serie numerica convergente possa esser "messa in evidenza",
e ad un paio di conti salutari,
dovrebbero bastare ai tuoi fini..
Saluti dal web.
"theras":
Gli argomenti da ripassare sono allora "serie geometrica di ragione $q$"
(in particolar modo la somma cui essa converge quando $|q|<1$..)
e "teorema di derivazione d'una successione di funzioni"
(magari questo l'hai trattato in Analisi II):
uniti all'osservare come una costante moltiplicativa presente nel termine generale d'una serie numerica convergente possa esser "messa in evidenza",
e ad un paio di conti salutari,
dovrebbero bastare ai tuoi fini..
Saluti dal web.
Studio e ritorno per fare la dimostrazione allora, sperando di riuscirci!
Grazie mille per le indicazioni!
Iniziamo:
$ sum_(i=m)^(n)iP_i $ con $ P_i=alphaP_(i-1)=(1-alpha)alpha^(i-1)P $
Riscrivo come $ sum_(i=m)^(n)iP_i=P(1-alpha)sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1) $
Mi occupo solo di $ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1) $
Considero $ S_n=sum_(i=m)^(n)alpha^i=alpha^m+alpha^(m+1)+...+alpha^n $
Moltiplico a destra e sinistra per $(1-alpha)$
Ottengo $ (1-alpha)sum_(i=m)^(n)alpha^i=alpha^m(1-alpha)+alpha^(m+1)(1-alpha)+...+alpha^n(1-alpha) $
A destra vari termini si eliminano tra loro e mi rimane $ (1-alpha)sum_(i=m)^(n)alpha^i=alpha^m-alpha^(n+1) $
Scrivo quindi che $ sum_(i=m)^(n)alpha^i=(alpha^m-alpha^(n+1))/(1-alpha) $
Si nota che la sommatoria che voglio esplicitare $ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=d/(dalpha)(sum_(i=m)^(n)alpha^i) $
Vado quindi a derivare la forma esplicita di $ sum_(i=m)^(n)alpha^i $
$ d/(dalpha)((alpha^m-alpha^(n+1))/(1-alpha))=([malpha^(m-1)-(n+1)alpha^n](1-alpha)+alpha^m-alpha^(n+1))/((1-alpha)^2) $
Di conseguenza ricavo che
$ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=([malpha^(m-1)-(n+1)alpha^n](1-alpha)+alpha^m-alpha^(n+1))/((1-alpha)^2) $
Spezzando la sommatoria
$ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=sum_(i=m)^(INF)ialpha^(i-1)-sum_(i=n+1)^(INF)ialpha^(i-1) $
Sviluppando si ottiene
$ sum_(i=m)^(INF)ialpha^(i-1)-sum_(i=n+1)^(INF)ialpha^(i-1)=([malpha^(m-1)-(INF+1)alpha^(INF)](1-alpha)+alpha^m-alpha^(INF+1))/((1-alpha)^2)-([(n+1)alpha^(n)-((INF)+1)alpha^(INF)](1-alpha)+alpha^(n+1)-alpha^(INF+1))/((1-alpha)^2) $
Sapendo che $ alpha<1 $ posso scrivere che $ alpha^(INF)=0 $
Ricavo quindi
$ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=(malpha^(m-1)(1-alpha)+alpha^m)/((1-alpha)^2)-((n+1)alpha^n(1-alpha)+alpha^(n+1))/((1-alpha)^2) $
Che può essere riscritto come
$ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=(m(1-alpha)+alpha)*alpha^(m-1)/((1-alpha)^2)-((n+1)(1-alpha)+alpha)*alpha^n/((1-alpha)^2) $
Infine, riprendendo quello che volevo esplicitare all'inizio scrivo
$ P(1-alpha)sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=[((m(1-alpha)+alpha)*alpha^(m-1))/((1-alpha))-(((n+1)(1-alpha)+alpha)*alpha^n)/((1-alpha))]P $
Credo che la dimostrazione sia giusta... Qualcuno conferma?
Intanto vi ringrazio molto per avermi orientato su cosa andarmi a rivedere!
$ sum_(i=m)^(n)iP_i $ con $ P_i=alphaP_(i-1)=(1-alpha)alpha^(i-1)P $
Riscrivo come $ sum_(i=m)^(n)iP_i=P(1-alpha)sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1) $
Mi occupo solo di $ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1) $
Considero $ S_n=sum_(i=m)^(n)alpha^i=alpha^m+alpha^(m+1)+...+alpha^n $
Moltiplico a destra e sinistra per $(1-alpha)$
Ottengo $ (1-alpha)sum_(i=m)^(n)alpha^i=alpha^m(1-alpha)+alpha^(m+1)(1-alpha)+...+alpha^n(1-alpha) $
A destra vari termini si eliminano tra loro e mi rimane $ (1-alpha)sum_(i=m)^(n)alpha^i=alpha^m-alpha^(n+1) $
Scrivo quindi che $ sum_(i=m)^(n)alpha^i=(alpha^m-alpha^(n+1))/(1-alpha) $
Si nota che la sommatoria che voglio esplicitare $ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=d/(dalpha)(sum_(i=m)^(n)alpha^i) $
Vado quindi a derivare la forma esplicita di $ sum_(i=m)^(n)alpha^i $
$ d/(dalpha)((alpha^m-alpha^(n+1))/(1-alpha))=([malpha^(m-1)-(n+1)alpha^n](1-alpha)+alpha^m-alpha^(n+1))/((1-alpha)^2) $
Di conseguenza ricavo che
$ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=([malpha^(m-1)-(n+1)alpha^n](1-alpha)+alpha^m-alpha^(n+1))/((1-alpha)^2) $
Spezzando la sommatoria
$ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=sum_(i=m)^(INF)ialpha^(i-1)-sum_(i=n+1)^(INF)ialpha^(i-1) $
Sviluppando si ottiene
$ sum_(i=m)^(INF)ialpha^(i-1)-sum_(i=n+1)^(INF)ialpha^(i-1)=([malpha^(m-1)-(INF+1)alpha^(INF)](1-alpha)+alpha^m-alpha^(INF+1))/((1-alpha)^2)-([(n+1)alpha^(n)-((INF)+1)alpha^(INF)](1-alpha)+alpha^(n+1)-alpha^(INF+1))/((1-alpha)^2) $
Sapendo che $ alpha<1 $ posso scrivere che $ alpha^(INF)=0 $
Ricavo quindi
$ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=(malpha^(m-1)(1-alpha)+alpha^m)/((1-alpha)^2)-((n+1)alpha^n(1-alpha)+alpha^(n+1))/((1-alpha)^2) $
Che può essere riscritto come
$ sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=(m(1-alpha)+alpha)*alpha^(m-1)/((1-alpha)^2)-((n+1)(1-alpha)+alpha)*alpha^n/((1-alpha)^2) $
Infine, riprendendo quello che volevo esplicitare all'inizio scrivo
$ P(1-alpha)sum_(i=m)^(n)ialpha^(i-1)=[((m(1-alpha)+alpha)*alpha^(m-1))/((1-alpha))-(((n+1)(1-alpha)+alpha)*alpha^n)/((1-alpha))]P $
Credo che la dimostrazione sia giusta... Qualcuno conferma?
Intanto vi ringrazio molto per avermi orientato su cosa andarmi a rivedere!
La forma è un po' cruda,ma sulla sostanza direi che ci siamo :
saluti dal web.
P.S.Per ottenere il simbolo $oo$ basta mettere due o tra i simboli di dollaro statunitense..
:saluti dal web.
P.S.Per ottenere il simbolo $oo$ basta mettere due o tra i simboli di dollaro statunitense..
"theras":
La forma è un po' cruda,ma sulla sostanza direi che ci siamo
saluti dal web.
P.S.Per ottenere il simbolo $oo$ basta mettere due o tra i simboli di dollaro statunitense..
Purtroppo l'analisi matematica non è proprio la mia area di comfort, si fa quel che si può
Mi rendo però conto che non c'era bisogno di spezzare la sommatoria in due sommatorie che vanno all'infinito!
Ho fatto i conti in un paio di modi (non troppo dissimili tra loro però) e sono abbastanza convinto del fatto che:
$\sum_{i=2}^{\infty} P_i= \alphaP$
E secondo me ha ragione theras:
$\sum_{i=1}^{\infty} P_i= P$
Non è che ti sei mangiato un fattore $\frac{1}{\alpha}$ davanti la sommatoria, se l'indice deve per forza partire da due?
$\sum_{i=2}^{\infty} P_i= \alphaP$
E secondo me ha ragione theras:
$\sum_{i=1}^{\infty} P_i= P$
Non è che ti sei mangiato un fattore $\frac{1}{\alpha}$ davanti la sommatoria, se l'indice deve per forza partire da due?
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