Sviluppo di McLaurin con funzione definita a tratti

[tortellino2]

l'esercizio richiede di dire qual'è il massimo ordine per cui esiste lo sviluppo di McLaurin della seguente funzione

\( f(x)=\begin{cases} e^{4x}+ln(1-8x^2), & \mbox{se }x\geq0 \\ 1+4x, & \mbox{altrimenti }
\end{cases} \)

sviluppando a \(0^+ \) ottengo \(1+4x+64x^3/3-32x^4+o(x^3) \) (mi sono fermato al terzo ordine)
ora a \(0^- \) essendo un polinomio lo sviluppo è uguale alla funzione stessa.
A questo punto non so più come procedere, ovvero quale condizione devo imporre per conoscere l'ordine massimo dello sviluppo?

[Quinzio]

ora a 0− essendo un polinomio lo sviluppo è uguale alla funzione stessa

A $0^-$ che funzione stiamo guardando ?

[tortellino2]

"Quinzio":

ora a 0− essendo un polinomio lo sviluppo è uguale alla funzione stessa

A $0^-$ che funzione stiamo guardando ?

guardiamo \(1+4x \) visto che è definita solo prima di \(0 \)
quindi il punto è che faccio ora che ho fatto gli sviluppi sia a destra che a sinistra?

[Quinzio]

Vai avanti finchè sono uguali, poi ti fermi.

[tortellino2]

"Quinzio":Vai avanti finchè sono uguali, poi ti fermi.

grazie,ecco perchè la risposta era l'ordine 2 , infatti gli sviluppi dal terzo ordine in poi sono diversi