Sviluppo di mclaurin

[darkangel65]

allora ho la seguente funzione
$ f(x) = e^\frac{1}{x} - e^sin(\frac{1}{x})$
per prima cosa ho posto t=1/x
quindi $f(t)= e^t-e^sin(t)$
sviluppando
$1+t+\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6} + o(t^3) - (1+ sin(t) + \frac{sin^2(t)}{2} + \frac{sin^3(t)}{6} + o(t^3)$

ma quando poi sviluppo il seno,non riesco a trovarmi con il risultato...una volta sviluppato ho considertato gli ordini non superiori al 3...
quindi
$ = 1+t+ \frac{t^2}{2}+ \frac{t^3}{6} + o (t^3) - (1+t- \frac{t^3}{6} + (t- \frac{t^3}{6})^2 * \frac{1}{2}) + (t- \frac{t^3}{6})^3 * \frac{1}{6})+ o (t^3) $
poi quando faccio i conti tengo solo conto degli ordini inferiori al 3 ...ma non mi esce..potreste aiutarmi? forse sbaglio qualche conto...

[ciampax]

Vediamo:

$e^{\sin t}=1+\sin t+1/2\sin^2 t+1/6 \sin^3 t+o(\sin^3 t)=$
$=1+(t-t^3/6+o(t^3))+1/2(t-t^3/6+o(t^3))^2+1/6(t-t^3/6+o(t^3))^3+o((t-t^3/6+o(t^3))^3)=$
$=1+t-t^3/6+o(t^3)+1/2(t^2+o(t^3))+1/6(t^3+o(t^3))+o(t^3)=1+t+t^2/2+o(t^3)$

pertanto

$g(t)=e^t-e^{\sin t}=t^3/6+o(t^3)$

[darkangel65]

mmm una domanda...ma quando dice
$\frac{1}{2} sin^2 t $ hai preso in considerazione solo il quadrato di t??così come dopo hai preso solo i cubo??

[ciampax]

Esatto, in quanto se calcoli le potenze vengono termine di grado maggiore di 3.

[darkangel65]

e io secondo quale criterio devo prendere il grado massimo? a secondo del grado dello sviluppo?

[ciampax]

Sì, dipende dai casi in cui ti trovi.

[darkangel65]

ok,ok grazie!