Sviluppo di Mc-Laurin di funzione composta

[*Cesco901]

Ciao a tutti.

Devo fare lo sviluppo di mc-laurin arrestato al terzo ordine di $ g(x) $:

Data $ f(x)=4+2x-x^2 $
$ g(x)=e^f(x)-2sin(e^4*x)-e^4 $

a me viene uno polinomio con un termine noto alche io capisco che è sbagliato perchè dovrebbe almeno valere come g(x) in zero cioè zero.

io lo posto magari sapete dirmi dove sbaglio: $ 13-e^4+(10-2*e^4)*x-3*x^2+(e^12/3-2)*x^3 $

[Seneca1]

"Cesco90":Ciao a tutti.

Devo fare lo sviluppo di mc-laurin arrestato al terzo ordine di $ g(x) $:

Data $ f(x)=4+2x-x^2 $
$ g(x)=e^f(x)-2sin(e^4*x)-e^4 $

a me viene uno polinomio con un termine noto alche io capisco che è sbagliato perchè dovrebbe almeno valere come g(x) in zero cioè zero.

io lo posto magari sapete dirmi dove sbaglio: $ 13-e^4+(10-2*e^4)*x-3*x^2+(e^12/3-2)*x^3 $

$e^f(x) = e^4 * e^(2 x - x^2) = e^4 * ( 1 + 2x - x^2 + ( 2x - x^2)^2/2 + o(x^2) )$

$2sin(e^4*x) = 2 ( e^4 * x + o(x^2) )$

Quindi:

$G(x) = e^4 * ( 1 + 2x - x^2 + ( 2x - x^2)^2/2 + o(x^2) ) - 2 ( e^4 * x + o(x^2) ) - e^4$

Come vedi, $g(0) = G(0)$... Ho arrestato lo sviluppo prima di quanto richiesto solo perché volevo mostrarti che il polinomio di McLaurin, nello $0$, assume lo stesso valore della funzione.

[*Cesco901]

Grazie mille!

Allora mi sorge una domanda perché se lo sviluppo lasciando $ e^(4+2*x-x^2) $ non funziona???

[Seneca1]

"Cesco90":Grazie mille!

Allora mi sorge una domanda perché se lo sviluppo lasciando $ e^(4+2*x-x^2) $ non funziona???

Sviluppalo passo passo. Così, dandoci solo il risultato, la vedo dura capire dove sbagli.

[*Cesco901]

ok:

ho fatto: $ e^f(x) = 1 + f(x) + f(x)^2/2 $

$ 1+4+2*x-x^2+(16+8x-4x^2+8x+4x^2-2x^3-4x^2-2x^3+x^4)/2-2e^4x+e^12/3x^3-e^4 $

Raccogliendo poi ottengo il risultato scritto sopra!!