Sviluppo di MacLaurin di $sin(x)/x$
Ciao a tutti !
Essendo periodo di dubbi amletici, ecco un'altra domanda che mi ha messo un po' in crisi. Mi viene chiesto di calcolare lo sviluppo di MacLaurin della funzione $f(x)=sin(x)/x$. A primo acchito mi verrebbe da pensare che non è possibile calcolare tale sviluppo poiché non sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Taylor, cioè la funzione non è derivabile in $x_0=0$ non essendo ivi continua. Tuttavia, se calcolo lo sviluppo con wolfram alpha, il programma mi restituisce $T_n(0)=1-x^2/6+x^4/120+...$ che di fatto è lo sviluppo del seno abbassato di un grado per via della divisione per x e che potrei ottenere se calcolassi indipendentemente i polinomi di MacLaurin di numeratore e denominatore e successivamente eseguissi la divisione. Ora, so che non posso assolutamente fidarmi di un software come wolfram alpha, tuttavia mi ha fatto sorgere questo duplice dubbio: esiste, dunque, il polinomio di MacLaurin della funzione data ? E' possibile calcolare i polinomi di MacLaurin di una funzione fratta calcolando il polinomio del numeratore e quello del denominatore e poi eseguendo la divisione ? Secondo me la risposta ad entrambe le domande è no, ma ho parecchi dubbi al riguardo (sebbene nei limiti con Taylor/MacLaurin si possano sviluppare le funzioni a numeratore e denominatore singolarmente, a me questo sembra un caso diverso).
Ringrazio sin da ora quanti sapranno illuminarmi !
Saluti
Essendo periodo di dubbi amletici, ecco un'altra domanda che mi ha messo un po' in crisi. Mi viene chiesto di calcolare lo sviluppo di MacLaurin della funzione $f(x)=sin(x)/x$. A primo acchito mi verrebbe da pensare che non è possibile calcolare tale sviluppo poiché non sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Taylor, cioè la funzione non è derivabile in $x_0=0$ non essendo ivi continua. Tuttavia, se calcolo lo sviluppo con wolfram alpha, il programma mi restituisce $T_n(0)=1-x^2/6+x^4/120+...$ che di fatto è lo sviluppo del seno abbassato di un grado per via della divisione per x e che potrei ottenere se calcolassi indipendentemente i polinomi di MacLaurin di numeratore e denominatore e successivamente eseguissi la divisione. Ora, so che non posso assolutamente fidarmi di un software come wolfram alpha, tuttavia mi ha fatto sorgere questo duplice dubbio: esiste, dunque, il polinomio di MacLaurin della funzione data ? E' possibile calcolare i polinomi di MacLaurin di una funzione fratta calcolando il polinomio del numeratore e quello del denominatore e poi eseguendo la divisione ? Secondo me la risposta ad entrambe le domande è no, ma ho parecchi dubbi al riguardo (sebbene nei limiti con Taylor/MacLaurin si possano sviluppare le funzioni a numeratore e denominatore singolarmente, a me questo sembra un caso diverso).
Ringrazio sin da ora quanti sapranno illuminarmi !
Saluti
Risposte
Si intende che prendi il prolungamento per continuità in zero. Questo stesso conto che hai appena fatto, tra l’altro, ti mostra che tale prolungamento per continuità in realtà è addirittura analitico.
Quanto alla divisione tra polinomi, è una domanda interessante. Certo che la puoi fare. Supponi che la tua funzione $f$ si sviluppi secondo McLaurin come
\[\tag{1}
f(x)=f’(0)x +f’’(0)\frac{x^2}{2} + \ldots + f^{(N)}(0)\frac{x^N}{N!} + o(x^N).
\]
Nota che il termine noto si annulla, il che corrisponde a \(f(0)=0\), come accade per \(f(x)=\sin x\). Allora, semplicemente usando le proprietà delle frazioni,
\[\begin{split}
\frac{f(x)}{x}&=\frac{f’(0)x +f’’(0)\frac{x^2}{2} + \ldots + f^{(N)}(0)\frac{x^N}{N!} + o(x^N)}{x}\\
&=\frac{f’(0)x +f’’(0)\frac{x^2}{2} + \ldots + f^{(N)}(0)\frac{x^N}{N!}}{x} + \frac{o(x^N)}{x} \\
&= f’(0) +f’’(0)\frac{x}{2} + \ldots + f^{(N)}(0)\frac{x^{N-1}}{N!} + o(x^{N-1}).
\end{split}\]
Questo è uno sviluppo di McLaurin perfettamente valido. Tra l’altro questo ragionamento mostra come il prolungamento per continuità di \(\frac{f(x)}{x}\) non sia solo una funzione continua, ma anche derivabile \(N-1\) volte, se \(f\) è derivabile \(N\) volte.
Fino adesso non abbiamo fatto che dell’algebra elementare, e la consegna dell’esercizio voleva solo quello, quindi siamo tutti contenti. Una domanda più globale riguarda l’analiticità, ovvero cosa succede se il resto nella formula (1) tende a zero. La risposta a questa domanda sta nell’analisi complessa e quindi ci fermiamo qui.
Quanto alla divisione tra polinomi, è una domanda interessante. Certo che la puoi fare. Supponi che la tua funzione $f$ si sviluppi secondo McLaurin come
\[\tag{1}
f(x)=f’(0)x +f’’(0)\frac{x^2}{2} + \ldots + f^{(N)}(0)\frac{x^N}{N!} + o(x^N).
\]
Nota che il termine noto si annulla, il che corrisponde a \(f(0)=0\), come accade per \(f(x)=\sin x\). Allora, semplicemente usando le proprietà delle frazioni,
\[\begin{split}
\frac{f(x)}{x}&=\frac{f’(0)x +f’’(0)\frac{x^2}{2} + \ldots + f^{(N)}(0)\frac{x^N}{N!} + o(x^N)}{x}\\
&=\frac{f’(0)x +f’’(0)\frac{x^2}{2} + \ldots + f^{(N)}(0)\frac{x^N}{N!}}{x} + \frac{o(x^N)}{x} \\
&= f’(0) +f’’(0)\frac{x}{2} + \ldots + f^{(N)}(0)\frac{x^{N-1}}{N!} + o(x^{N-1}).
\end{split}\]
Questo è uno sviluppo di McLaurin perfettamente valido. Tra l’altro questo ragionamento mostra come il prolungamento per continuità di \(\frac{f(x)}{x}\) non sia solo una funzione continua, ma anche derivabile \(N-1\) volte, se \(f\) è derivabile \(N\) volte.
Fino adesso non abbiamo fatto che dell’algebra elementare, e la consegna dell’esercizio voleva solo quello, quindi siamo tutti contenti. Una domanda più globale riguarda l’analiticità, ovvero cosa succede se il resto nella formula (1) tende a zero. La risposta a questa domanda sta nell’analisi complessa e quindi ci fermiamo qui.
Grazie @dissonance della risposta !
Dunque stiamo dando per scontato il prolungamento per continuità della funzione in $x=0$, giusto ? Cioè sto considerando la funzione $f(x)={ ( sin(x)/x, ifx!=0 ),( 1, if x=0 ):}$ ? Un'ultima domanda, se posso: la divisione risulta, dunque, valida. Se considero lo sviluppo di MacLaurin della secante ottengo $sec(x)=1+x^2/2+5/24x^4+...$, se però considero lo sviluppo del reciproco del coseno come rapporto ottengo $1/cos(x)=1/(1-x^2/2+x^4/24)$. Posso considerarli entrambi sviluppi validi in quanto si comportano allo stesso modo in un intorno di $x=0$ pur non essendo il secondo un polinomio ? Perdona la banalità delle mie domande.
Dunque stiamo dando per scontato il prolungamento per continuità della funzione in $x=0$, giusto ? Cioè sto considerando la funzione $f(x)={ ( sin(x)/x, ifx!=0 ),( 1, if x=0 ):}$ ? Un'ultima domanda, se posso: la divisione risulta, dunque, valida. Se considero lo sviluppo di MacLaurin della secante ottengo $sec(x)=1+x^2/2+5/24x^4+...$, se però considero lo sviluppo del reciproco del coseno come rapporto ottengo $1/cos(x)=1/(1-x^2/2+x^4/24)$. Posso considerarli entrambi sviluppi validi in quanto si comportano allo stesso modo in un intorno di $x=0$ pur non essendo il secondo un polinomio ? Perdona la banalità delle mie domande.
Non sono banalità, sono domande basiche di teoria delle funzioni analitiche.
Intanto, stai omettendo sistematicamente gli o-piccolo, male. Se preferisci puoi usare gli O grande, o qualsiasi altra formulazione del resto, ma qualcosa devi mettercelo altrimenti finirai per commettere errori.
In secondo luogo, l’obiettivo di tutto questo è sempre quello di approssimare localmente le funzioni con dei polinomi. Il primo sviluppo che mi hai scritto è effettivamente un polinomio. Bene. Quello è uno sviluppo di McLaurin. Ma per il secondo sviluppo, il polinomio dov’è? Devi fare un altro passaggio. Usa lo sviluppo
\[
(1+y)^{-1} = 1 -y +o(y).\]
Intanto, stai omettendo sistematicamente gli o-piccolo, male. Se preferisci puoi usare gli O grande, o qualsiasi altra formulazione del resto, ma qualcosa devi mettercelo altrimenti finirai per commettere errori.
In secondo luogo, l’obiettivo di tutto questo è sempre quello di approssimare localmente le funzioni con dei polinomi. Il primo sviluppo che mi hai scritto è effettivamente un polinomio. Bene. Quello è uno sviluppo di McLaurin. Ma per il secondo sviluppo, il polinomio dov’è? Devi fare un altro passaggio. Usa lo sviluppo
\[
(1+y)^{-1} = 1 -y +o(y).\]
"dissonance":
Intanto, stai omettendo sistematicamente gli o-piccolo, male
Eh si, hai perfettamente ragione, scusami. Ho scritto i $...$ per indicare che lo sviluppo continua, ma sarebbe stato più corretto fermarmi ad un certo ordine ed aggiungere il resto.
Mi sembra tutto abbastanza chiaro e ben argomentato. Grazie ancora !
Saluti
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