Sviluppo di MacLaurin
ciao ragazzi,
vorrei conferma se i passaggi che ho fatto per lo sviluppo, fino al 3°ordine, di tale funzione $f(x)=sqrt(1+senx)-(2/(2-x))$ siano corretti:
sviluppo prima la radice $(1+1/2x-1/8x^2+1/16x^3+o(x^3))$
poi sviluppo la frazione: $(1-1/2x+o(x))$
e faccio la somma algebrica dei due sviluppi:
$x-1/8x^2+1/16x^3+o(x^3)$
è quindi quest' ultimo lo sviluppo di MacLaurin richiesto?
inoltre dovendo fare $\int_0^1f(x)/x^3dx$
quindi $\int_0^1(1/x^2-1/8x+1/16)dx$
$\lim_{c \to \0^+}(1/16x-1/x-1/8 )|_c^1 = -17/16 - (-oo) = +oo$
quindi l'integrale DIVERGE ?
vorrei conferma se i passaggi che ho fatto per lo sviluppo, fino al 3°ordine, di tale funzione $f(x)=sqrt(1+senx)-(2/(2-x))$ siano corretti:
sviluppo prima la radice $(1+1/2x-1/8x^2+1/16x^3+o(x^3))$
poi sviluppo la frazione: $(1-1/2x+o(x))$
e faccio la somma algebrica dei due sviluppi:
$x-1/8x^2+1/16x^3+o(x^3)$
è quindi quest' ultimo lo sviluppo di MacLaurin richiesto?
inoltre dovendo fare $\int_0^1f(x)/x^3dx$
quindi $\int_0^1(1/x^2-1/8x+1/16)dx$
$\lim_{c \to \0^+}(1/16x-1/x-1/8 )|_c^1 = -17/16 - (-oo) = +oo$
quindi l'integrale DIVERGE ?
Risposte
Lo sviluppo in serie non sembra affatto corretto.
Conseguentemente non scommetterei troppo sulla correttezza dell'integrale.
Conseguentemente non scommetterei troppo sulla correttezza dell'integrale.
e tu come consiglieresti di procedere?
Con la definizione di polinomio di Taylor, cioè calcolando le derivate che ti servono.
Infatti in principio avevo iniziato a calcolare lo sviluppo proprio utilizzando la formula di Taylor centrata in 0 ma le cose come puoi vedere (http://tinypic.com/view.php?pic=18c5fa&s=5) mi si complicavano enormemente nel calcolo della derivata terza.
Esperienza mi dice che quando le cose si complicano in tale maniera è perchè ho sbagliato strada.
cosa mi puoi dire?
P.S. è contro il regolamento mettere link di "imagehosting"? dato che l'ho fatto in un altro post e non ho ricevuto risposta.
Esperienza mi dice che quando le cose si complicano in tale maniera è perchè ho sbagliato strada.
cosa mi puoi dire?
P.S. è contro il regolamento mettere link di "imagehosting"? dato che l'ho fatto in un altro post e non ho ricevuto risposta.
Beh, se chiami \(f\) la tua funzione, hai \(f(x)=g(x) +h(x)\) con:
\[
g(x) =\sqrt{1+\sin x}=(1+\sin x)^{1/2} \qquad \text{e} \qquad h(x)=\frac{-2}{2-x}=-\frac{1}{1-x/2}\; .
\]
Della \(h\) sai scrivere addirittura lo sviluppo di MacLaurin:
\[
h(x)= -\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}\ x^n
\]
quindi determinare il polinomio di Taylor non ti dà problemi:
\[
h(x) =-1-\frac{1}{2}\ x -\frac{1}{4}\ x^2 -\frac{1}{8}\ x^3+\text{o}(x^3)\; .
\]
D'altra parte, come si suol dire derivare è bovino e quindi nemmeno lavorare esplicitamente con le derivate di \(g\) è un compito arduo: infatti trovi:
\[
\begin{split}
g^\prime (x) &= \frac{1}{2}(1+\sin x)^{-1/2}\ \cos x \\
g^{\prime \prime} (x) &= -\frac{1}{4} (1+\sin x)^{-3/2}\ \cos^2 x - \frac{1}{2} (1+\sin x)^{-1/2}\ \sin x \\
g^{\prime \prime \prime} (x) &= \frac{3}{8} (1+\sin x)^{-5/2}\ \cos^3 x +\frac{1}{2} (1+\sin x)^{-3/2}\ \sin x\ \cos x\\
&\phantom{= +} +\frac{1}{4} (1+\sin x)^{-3/2}\ \sin x\ \cos x -\frac{1}{2} (1+\sin x)^{-1/2}\ \cos x \\
&= \frac{3}{8} (1+\sin x)^{-5/2}\ \cos^3 x +\frac{3}{4} (1+\sin x)^{-3/2}\ \sin x\ \cos x -\frac{1}{2} (1+\sin x)^{-1/2}\ \cos x
\end{split}
\]
da cui ricavi immediatamente il polinomio di Taylor:
\[
g(x) =1+\frac{1}{2}\ x -\frac{1}{8}\ x^2 -\frac{1}{48}\ x^3 +\text{o} (x^3)\; .
\]
Conseguentemente:
\[
\begin{split}
f(x)&=1+\frac{1}{2}\ x -\frac{1}{8}\ x^2 -\frac{1}{48}\ x^3 \\
&\phantom{=+}-1-\frac{1}{2}\ x -\frac{1}{4}\ x^2 -\frac{1}{8}\ x^3+\text{o}(x^3)\\
&= -\frac{3}{8}\ x^2 -\frac{7}{48}\ x^3+\text{o}(x^3)\; .
\end{split}
\]
P.S.: No, postare delle immagini non è contro il regolamento.
Tuttavia è fortemente sconsigliato postare solo immagini senza altre considerazioni. Ciò per almeno due motivi: 1) di solito gli studenti non sono abituati a commentare i passaggi che fanno (perché credono che la Matematica sia un'attività da automi e non da esseri pensanti) quindi è impossibile capire quali siano le loro lacune leggendo solo i calcoli; 2) perché il postare solo immagini equivale a dire "controllatemi i conti", cosa che non è in linea con lo spirito del forum (cfr. regolamento, 1.2-1.5)
\[
g(x) =\sqrt{1+\sin x}=(1+\sin x)^{1/2} \qquad \text{e} \qquad h(x)=\frac{-2}{2-x}=-\frac{1}{1-x/2}\; .
\]
Della \(h\) sai scrivere addirittura lo sviluppo di MacLaurin:
\[
h(x)= -\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}\ x^n
\]
quindi determinare il polinomio di Taylor non ti dà problemi:
\[
h(x) =-1-\frac{1}{2}\ x -\frac{1}{4}\ x^2 -\frac{1}{8}\ x^3+\text{o}(x^3)\; .
\]
D'altra parte, come si suol dire derivare è bovino e quindi nemmeno lavorare esplicitamente con le derivate di \(g\) è un compito arduo: infatti trovi:
\[
\begin{split}
g^\prime (x) &= \frac{1}{2}(1+\sin x)^{-1/2}\ \cos x \\
g^{\prime \prime} (x) &= -\frac{1}{4} (1+\sin x)^{-3/2}\ \cos^2 x - \frac{1}{2} (1+\sin x)^{-1/2}\ \sin x \\
g^{\prime \prime \prime} (x) &= \frac{3}{8} (1+\sin x)^{-5/2}\ \cos^3 x +\frac{1}{2} (1+\sin x)^{-3/2}\ \sin x\ \cos x\\
&\phantom{= +} +\frac{1}{4} (1+\sin x)^{-3/2}\ \sin x\ \cos x -\frac{1}{2} (1+\sin x)^{-1/2}\ \cos x \\
&= \frac{3}{8} (1+\sin x)^{-5/2}\ \cos^3 x +\frac{3}{4} (1+\sin x)^{-3/2}\ \sin x\ \cos x -\frac{1}{2} (1+\sin x)^{-1/2}\ \cos x
\end{split}
\]
da cui ricavi immediatamente il polinomio di Taylor:
\[
g(x) =1+\frac{1}{2}\ x -\frac{1}{8}\ x^2 -\frac{1}{48}\ x^3 +\text{o} (x^3)\; .
\]
Conseguentemente:
\[
\begin{split}
f(x)&=1+\frac{1}{2}\ x -\frac{1}{8}\ x^2 -\frac{1}{48}\ x^3 \\
&\phantom{=+}-1-\frac{1}{2}\ x -\frac{1}{4}\ x^2 -\frac{1}{8}\ x^3+\text{o}(x^3)\\
&= -\frac{3}{8}\ x^2 -\frac{7}{48}\ x^3+\text{o}(x^3)\; .
\end{split}
\]
P.S.: No, postare delle immagini non è contro il regolamento.
Tuttavia è fortemente sconsigliato postare solo immagini senza altre considerazioni. Ciò per almeno due motivi: 1) di solito gli studenti non sono abituati a commentare i passaggi che fanno (perché credono che la Matematica sia un'attività da automi e non da esseri pensanti) quindi è impossibile capire quali siano le loro lacune leggendo solo i calcoli; 2) perché il postare solo immagini equivale a dire "controllatemi i conti", cosa che non è in linea con lo spirito del forum (cfr. regolamento, 1.2-1.5)
grazie Gugo, tutto molto chiaro......
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