Sviluppo di Maclaurin (2°Ordine)

[Flamber]

Sto cercando lo sviluppo al secondo ordine di Maclaurin di $f(x)$

$f(x)=e^(-xcosx)+sinx-cosx$

$cosx=1-x^2/2+o(x^2)$
$sinx=x+o(x)$
$e^t=1+t+t^2/2+o(t^2)$
$-xcosx=-x(1-x^2/2)+o(x^2)=-x+o(x^2)$
$e^(-xcosx)=1-x+x^2/2+o(x^2)$

ma andando a sommare questi termini, la funzione si annulla, e soprattutto non so come comportarmi con quell' $o(x)$ che viene dal seno, che "mangia" tutti gli $x^2$ della funzione, che si annullerebbero comunque.

Cosa posso fare?

[Brancaleone1]

"Flamber":Sto cercando lo sviluppo al secondo ordine di Maclaurin di $f(x)$

$f(x)=e^(-xcosx)+sinx-cosx$

$cosx=1-x^2/2+o(x^2)$
$sinx=x+o(x)$
$e^t=1+t+t^2/2+o(t^2)$
$-xcosx=-x(1-x^2/2)+o(x^2)=-x+o(x^2)$
$e^(-xcosx)=1-x+x^2/2+o(x^2)$

ma andando a sommare questi termini, la funzione si annulla, e soprattutto non so come comportarmi con quell' $o(x)$ che viene dal seno, che "mangia" tutti gli $x^2$ della funzione, che si annullerebbero comunque.

Cosa posso fare?

E' tutto giusto, probabilmente ti sei dimenticato di cambiare segno davanti allo sviluppo del coseno

$f(x)=g(x)+h(x)-s(x)$ dove

$g(x)=e^(-xcos(x))$
$h(x)=sin(x)$
$s(x)=cos(x)$

Sviluppando al secondo ordine si ottiene:

$e^t=1+t+t^2/2+o(t^2)$
$=> g(x)=e^(-xcos(x))=1-x+x^2/2+o(x^2)$

$h(x)=sin(x)=x+o(x)$

$s(x)=cos(x)=1-x^2/2+o(x^2)$

$=> f(x)=1-x+x^2/2+x-1+x^2/2+o(x)=x^2+o(x)$

[Flamber]

ma si può dico io????

Grazie

[Flamber]

Se invece avessi una funzione del tipo

$f(x)=(1+sinx)/cosx$

Per farne lo sviluppo avrei due strade, o fare lo sviluppo di nominatore e denominatore e poi fare una divisione tra polinomi, oppure trasformarla in:

$f(x)=1/cosx+tanx$

in questo caso avrei

$tanx=x+o(x^2)$ (N.B. Devo farlo al secondo ordine, il secondo termine è già x^3)

e ottengo

$f(x)=1/(1-x^2/2+o(x^2))+x+o(x^2)$

e ora che ci faccio di tutto ciò? come faccio a trafsormarlo in un polinomio?

Poi avevo un altro dubbio, nel caso io abbia $1/(f(x))$ e conosca lo sviluppo di $f(x)=T_n(x)+o(x^n)$ come posso scrivere lo sviluppo di $1/f(x)$