Sviluppo di Mac Laurin di una funzione composta
Salve a tutti 
Ho questa funzione di cui fare lo sviluppo di Mac Laurin: $e^cos(x)$. Non volendo procedere con la derivata, volevo capire come fare attraverso gli sviluppi notevoli.
Pongo $t=cos(x)$, e allora risulta:
$e^t = 1+t+t^2/2+o(t^2)$
Inoltre so che $t = cos(x) = 1-x^2/2+o(x^3)$
Allora risulta: $e^cos(x) = 1 + 1 - x^2/2 + (1-x^2/2)^2/2 + o(x^3) = 5/2-x^2+o(x^3)$
Il risultato è sbagliato dato che dovrebbe venire $e-(ex^2)/2+o(x^3)$.
Dove sbaglio?
Ho questa funzione di cui fare lo sviluppo di Mac Laurin: $e^cos(x)$. Non volendo procedere con la derivata, volevo capire come fare attraverso gli sviluppi notevoli.
Pongo $t=cos(x)$, e allora risulta:
$e^t = 1+t+t^2/2+o(t^2)$
Inoltre so che $t = cos(x) = 1-x^2/2+o(x^3)$
Allora risulta: $e^cos(x) = 1 + 1 - x^2/2 + (1-x^2/2)^2/2 + o(x^3) = 5/2-x^2+o(x^3)$
Il risultato è sbagliato dato che dovrebbe venire $e-(ex^2)/2+o(x^3)$.
Dove sbaglio?
Risposte
Ma è centrato in [tex]$0$[/tex]?
Comunque, credo che il problema sia il fatto che tu abbia trascurato [tex]$o(t^2)$[/tex]. Dovevi sviluppare almeno fino al terzo ordine per poter inglobare tutto in [tex]$o(x^3)$[/tex].
Comunque, io farei così: [tex]$e^{1-\frac{t^2}{2}+o(t^3)}=e\bigg(1-\frac{t^2}{2}+\frac{(-\frac{t^2}{2})^2}{2}+\frac{(-\frac{t^2}{2})^3}{6}+o(t^3)\bigg)$[/tex]. Eccetera.
(Ovviamente gli ultimi due addendi sono degli o-piccoli di [tex]$t^3$[/tex].)
Ps: Ho usato le proprietà delle potenze, cioè [tex]$e^{1-\frac{t^2}{2}+o(t^3)}=e(e^{-\frac{t^2}{2}+o(t^3)})$[/tex]
Comunque, credo che il problema sia il fatto che tu abbia trascurato [tex]$o(t^2)$[/tex]. Dovevi sviluppare almeno fino al terzo ordine per poter inglobare tutto in [tex]$o(x^3)$[/tex].
Comunque, io farei così: [tex]$e^{1-\frac{t^2}{2}+o(t^3)}=e\bigg(1-\frac{t^2}{2}+\frac{(-\frac{t^2}{2})^2}{2}+\frac{(-\frac{t^2}{2})^3}{6}+o(t^3)\bigg)$[/tex]. Eccetera.
(Ovviamente gli ultimi due addendi sono degli o-piccoli di [tex]$t^3$[/tex].)
Ps: Ho usato le proprietà delle potenze, cioè [tex]$e^{1-\frac{t^2}{2}+o(t^3)}=e(e^{-\frac{t^2}{2}+o(t^3)})$[/tex]
Ti ringrazio per la risposta e ho capito quello che hai fatto. La mia domanda è però perchè se io invece di usare la proprietà delle potenze e quindi scrivere $e(e^(-t^2/2+o(t^3)))$ e poi andare a sviluppare quello tra parentesi, non posso sviluppare direttamente $e^(1-t^2/2+o(t^3))$. Infatti se sviluppo direttamente questo viene un altro risultato dato che scompare la $e$
Il fatto è che se [tex]$x=0$[/tex] è il centro rispetto a cui devi sviluppare, allora [tex]$t=\cos{x}= 1$[/tex], quindi dovresti calcolare [tex]$e^t$[/tex] centrato in [tex]$1$[/tex].
Mettendo in evidenza la [tex]$e$[/tex] invece si centra nuovamente in [tex]$0$[/tex] l'esponente.
E lo fai in questo modo: [tex]$e^{1+\cos{x}-1}=e(e^{\cos{x}-1})$[/tex]. (Solo che io l'ho fatto dopo)
Mettendo in evidenza la [tex]$e$[/tex] invece si centra nuovamente in [tex]$0$[/tex] l'esponente.
E lo fai in questo modo: [tex]$e^{1+\cos{x}-1}=e(e^{\cos{x}-1})$[/tex]. (Solo che io l'ho fatto dopo)
Ah ecco! Ora ho capito! Grazie mille 
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