Sviluppo di Mac Laurin delle funzioni seno e coseno?
Non capisco perché dopo aver sviluppato il polinomio di M.L. dell'ordine richiesto, nell'errore del resto di Lagrange a volte $ |R(x)|leq |x^(2n+3)|/ ((2n+3)!) $ e a volte fa : $ |x|^(2n+2) $ $ /(2n+2!) $
ESEMPIO: ho $ sin (x)^(2) $ e mi chiede di calcolare polinomio di ML di ordine 6
pone $ (x)^(2) $ $ = $ $ y $ E VIENE $ y- $ $ (y)^(3) / (6) $ con $ |R(y)|leq |y|^(5)/ (5!) $ sostituisce e poi viene $ (x)^(2) $ $ - $ $ (x)^(6)/ (6) $
e nell'errore del resto di lagrange mette $ |x|^(10)/5! $
Io avrei messo $ |x|^(12)/6! $ ovvero $ |y|^(6)/6! $ essendo la mia formula scritta sul libro $ |R(x)|leq |x^(2n+3)|/ ((2n+3)!) $ !..perchè fa così? io nn capisco..
ESEMPIO: ho $ sin (x)^(2) $ e mi chiede di calcolare polinomio di ML di ordine 6
pone $ (x)^(2) $ $ = $ $ y $ E VIENE $ y- $ $ (y)^(3) / (6) $ con $ |R(y)|leq |y|^(5)/ (5!) $ sostituisce e poi viene $ (x)^(2) $ $ - $ $ (x)^(6)/ (6) $
e nell'errore del resto di lagrange mette $ |x|^(10)/5! $
Io avrei messo $ |x|^(12)/6! $ ovvero $ |y|^(6)/6! $ essendo la mia formula scritta sul libro $ |R(x)|leq |x^(2n+3)|/ ((2n+3)!) $ !..perchè fa così? io nn capisco..
Risposte
[xdom="gugo82"]@Giugi92: Per favore, formatta bene le formule, ché risultano illegibili.[/xdom]
mi dispiace davvero ho provato a farlo con mathJax ma non mi vengono!
ok ce l'ho fatta! spero che adesso qualcuno mi possa aiutare
Se non erro, sviluppando il seno al terzo ordine con resto nella forma di Lagrange trovi un \(\eta \in [\min \{0,y\}, \max \{0,y\}]\) tale che:
\[
\sin y = y-\frac{1}{6}\ y^3 +R_3(\eta) \quad \text{con}\quad R_3(y) = \frac{1}{5!}\ \eta^5
\]
quindi sostituendo a ritroso \(y=x^2\) trovi:
\[
\sin x^2 = x^2-\frac{1}{6}\ x^6 +R_3 (\xi^2)\quad \text{con} \quad R_3(\xi) =\frac{1}{5!}\ \xi^{10}
\]
ove \(\xi \in [\min \{0,x\}, \max \{0,x\}]\) è l'unico numero tale che \(\xi^2=\eta\).
\[
\sin y = y-\frac{1}{6}\ y^3 +R_3(\eta) \quad \text{con}\quad R_3(y) = \frac{1}{5!}\ \eta^5
\]
quindi sostituendo a ritroso \(y=x^2\) trovi:
\[
\sin x^2 = x^2-\frac{1}{6}\ x^6 +R_3 (\xi^2)\quad \text{con} \quad R_3(\xi) =\frac{1}{5!}\ \xi^{10}
\]
ove \(\xi \in [\min \{0,x\}, \max \{0,x\}]\) è l'unico numero tale che \(\xi^2=\eta\).
scusa non ho capito bene il minimo dovrebbe essere 5? ma come lo trovi? io metterei 6 dal momento che la formula mi dice che per il seno il resto di Lagrange è $ |x|^(2n+3)/( (2n+3)!) $ non capisco con che criterio si scriva 5 o 6!
Scusa, ma quale "minimo"?
Penso che sia meglio che tu scriva la formula dello sviluppo di \(\sin y\) che hai... Perchè credo che il problema sia proprio lì.
Penso che sia meglio che tu scriva la formula dello sviluppo di \(\sin y\) che hai... Perchè credo che il problema sia proprio lì.
ma io li so gli sviluppi per il seno e il coseno non capisco in che modo scelga il maggiorante nel resto di lagrange tutto qua! a volte fa $ |x|^(2n+3)/ ((2n+3)!) $ e a volte invece fa $ |x|^(2n+2)/ ((2n+2)!) $ come in questo caso che ha messo 5! anzichè 6!
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