Sviluppo di $ln(cosx)$

[Flamber]

Sto provando a fare lo sviluppo di Maclaurin a 4° ordine della funzione:

$f(x)=ln(cos(x))$

$g(x)=cos(x)=1-x^2/2+x^4/(4!)+o(x^4)$

$h(t)=ln(1+t)=t-t^2/2+t^3/3-t^4/4+o(t^4)$

fino a dove devo sviluppare?

[gugo82]

Ma perché invece di incasinarti con gli sviluppi notevoli non calcoli quattro derivate successive?

Dato che:
\[
f(x) =\log \cos x \qquad \Rightarrow \qquad f^\prime (x) = - \tan x
\]
e le derivate della tangente sono note, è più facile determinare i coefficienti di Taylor di \(f\) facendo un conto esplicito rispetto a calcolarli "innestando" i due sviluppi del coseno e del logaritmo.

[theras]

"gugo82":Ma perché invece di incasinarti con gli sviluppi notevoli non calcoli quattro derivate successive?

Perchè,è mia opinione a te nota,è il rischio didattico dell'uso degli sviluppi di Taylor;
hanno una natura puramente algoritmica,ad occhi che non vi arrivano con la giusta misura di gradualità
(io ad esempio li trattavo a $3/4$ del corso di Analisi I,
ma capisco pure che annualità di allora e di oggi non sono modulabili nella stessa maniera..),
ed è dunque troppo forte la tentazione di utilizzarli a mò di scorciatoia buona a tutte le ore:
anche quando non si dispone a pieno della maturità di visuale che,al più
(resto non d'accordo,ma devo comunque tener conto dell'opinione comune),
ne giustificherebbe l'utilizzo senza precauzioni..
Fà comodo insomma,per chi cerca scorciatoie troppo pericolose all'inizio d'un tragitto
(non mi riferisco in modo specifico all'OP,
bensì ad una sorta d'approccio collettivo all'argomento che ritengo dannoso o,nel migliore dei casi,spesso infruttuoso..),
interpretarli esclusivamente come una sorta di Algebra elementare appena più avanzata:
e così facendo è probabile non riuscire nè a vederli per ciò che sono
(uno dei tanti potenziali strumenti,fine solo se preso con le dovute molle,del Calcolo Infinitesimale..),
nè ad impadronirsi a fondo dei discorsi di base che li giustificano!
Saluti dal web.

[Flamber]

be lo faccio semplicemente perchè la traccia del porblema me lo richiede. probabilmente calcolare le 4 derivate sarebbe più facile ma, personalmente mi richiede più tempo (ed ho 3 minuti in media per ogni domanda).

Comunque alla fine ci sono riuscito, "dimenticavo" un termine alla quarta, e lo inglobavo in quell' $o(x^4)$

[gugo82]

Vabbé, allora devi arrivarci per gradi.
Se sviluppi al primo ordine il logaritmo hai:
\[
\begin{split}
\log (\cos x) &= \log (1+(\cos x-1)) \\
&= (\cos x-1) + \text{o}(\cos x -1)\\
&= -\frac{1}{2}\ x^2 + \text{o}(x^2)\; ,
\end{split}
\]
e non va bene.
Qllora decidi di sviluppare al secondo ordine il logaritmo:
\[
\begin{split}
\log (\cos x) &= \log (1+(\cos x-1)) \\
&= (\cos x-1) -\frac{1}{2}\ (\cos x -1)^2 +\text{o}((\cos x -1)^2)\\
&= \left( -\frac{1}{2}\ x^2 + \text{o}(x^2)\right) -\frac{1}{2}\ \left( -\frac{1}{2}\ x^2 + \text{o}(x^2) \right)^2 + \text{o} \left( \left( \frac{1}{2}\ x^2 + \text{o}(x^2) \right)^2 \right)\\
&= -\frac{1}{2}\ x^2 + \text{o}(x^2) -\frac{1}{8}\ x^4 +\frac{1}{2}\ x^2\ \text{o}(x^2) + \text{o}(x^4)+ \text{o} \left( \frac{1}{4}\ x^4 - x^2\ \text{o}(x^2) + \text{o}(x^4)\right)\\
&= -\frac{1}{2}\ x^2 + \text{o}(x^2) \; ,
\end{split}
\]
che non va bene, perché l'\(\text{o}(x^2)\) che viene fuori dal primo termine "si mangia" tutti i termini d'ordine superiore compreso quello in \(x^4\).
D'altra parte, hai notato che il secondo termine dello sviluppo del logaritmo ti caccia fuori solo la potenza di quarto grado che ti può servire, mentre gli altri termini sono tutti infinitesimi d'ordine superiore: ciò significa che non bisogna più sviluppare oltre il logaritmo e bisogna concentrarsi sullo sviluppo del suo argomento.
Quindi sviluppiamo \(\cos x-1\) al quarto ordine ed il logaritmo al secondo:
\[
\begin{split}
\log (\cos x) &= \log (1+(\cos x-1)) \\
&= (\cos x-1) -\frac{1}{2}\ (\cos x -1)^2 +\text{o}((\cos x -1)^2)\\
&= \left( -\frac{1}{2}\ x^2 + \frac{1}{24}\ x^4 + \text{o}(x^4)\right) -\frac{1}{2}\ \left( -\frac{1}{2}\ x^2 + \frac{1}{24}\ x^4 + \text{o}(x^4) \right)^2 +\\
&\phantom{=} + \text{o} \left( \left( -\frac{1}{2}\ x^2 +\frac{1}{24}\ x^4 + \text{o}(x^4) \right)^2 \right) \\
&= -\frac{1}{2}\ x^2 + \frac{1}{24}\ x^4 + \text{o}(x^4) - \frac{1}{8}\ x^4 +\underbrace{\frac{1}{48}\ x^6 + \frac{1}{2}\ x^2\ \text{o}(x^4) - \frac{1}{2\ (24)^2}\ x^8 + \cdots + \text{o}(x^8)}_{\color{maroon}{\text{infinitesimi d'ord. sup. a } 4 = \text{o}(x^4)}} \\
&\phantom{=} + \text{o}\left( \frac{1}{4}\ x^4+ \underbrace{\frac{1}{24}\ x^6+\cdots + \text{o}(x^8)}_{\color{maroon}{\text{infinitesimi d'ord. sup. a } 4 = \text{o}(x^4)}}\right)\\
&= -\frac{1}{2}\ x^2 -\frac{1}{12}\ x^4 + \text{o}(x^4)
\end{split}
\]
e questo è il risultato giusto.

Per controllare, nota che:
\[
\begin{split}
f(x) &= \log \cos x \quad \Rightarrow \quad f^\prime (x) = -\tan x \quad \Rightarrow \quad f^{\prime \prime} (x) = -\frac{1}{\cos^2 x} \\
&\Rightarrow \quad f^{\prime \prime \prime} (x) = -2\ \tan x\ \frac{1}{\cos^2 x} \quad \Rightarrow \quad f^{(iv)} (x) = -2 \left( \frac{1}{\cos^4 x} -2 \tan^2 x\ \frac{1}{\cos^2 x}\right)
\end{split}
\]
dunque i coefficienti di Taylor di \(f\) in \(0\) sono:
\[
f(0) = 0,\ f^\prime (0) = 0,\ \frac{1}{2}\ f^{\prime \prime} (0) = -\frac{1}{2},\ \frac{1}{3!}\ f^{\prime \prime \prime} (0)= 0,\ \frac{1}{4!}\ f^{(iv)} (0) = -\frac{2}{24}=-\frac{1}{12}
\]
e perciò lo sviluppo determinato sopra è corretto.

[Flamber]

Grazie davvero per il tempo dedicatomi, e soprattutto per la completezza nella risposta. Pensavo di averlo fatto bene ed invece avevo dimenticato un termine!