Sviluppo di Laurent

[poncelet]

Devo sviluppare in serie di Laurent la funzione
\[
f(z)=\sin\left(\frac{z}{1-z}\right)
\]
intorno a $z_0=1$.
Ho pensato di svolgere in questo modo
\[
f(z)=\sin\left(-\frac{z}{z-1}\right)=-\sin\left(\frac{z}{z-1}\right)=-\sin\left(1-\frac{1}{z-1}\right)=
\]
\[
=-\left(\sin 1\cos\left(\frac{1}{z-1}\right)+\cos 1\sin\left(\frac{1}{z-1}\right)\right)=
\]
\[
=-\sin 1\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{2n}\frac{(z-1)^{-2n}}{(2n)!}-\cos 1\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(z-1)^{-2n-1}}{(2n+1)!}
\]
Però poi non riesco a semplificare ulteriormente. C'è un procedimento migliore o un suggerimento per proseguire?

[gugo82]

Ottimo così.
Più di questo che vuoi semplificare?

Hai una serie di potenze pari ed una dispari, al massimo le puoi unire definendo appositamente dei coeffienti:
\[
c_{-h}=\begin{cases} \text{coefficiente di } (z-1)^{-2n} &\text{, se } h=2n\\ \text{coefficiente di } (z-1)^{-2n-1} &\text{, se } h=2n+1\end{cases}
\]
ma non è tanto utile.

[poncelet]

Lo chiedevo perché il risultato proposto dal prof è:
\[
-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sin\left(1+\frac{n\pi}{2}\right)(z-1)^{-n}
\]
e non capisco da dove esce.

[gugo82]

Beh, avrà applicato la formula di addizione al contrario quando ha scritto esplicitamente i \(c_{-h}\).

Infatti:
\[
\sin \left( 1+\frac{h\pi}{2}\right) =\sin 1\ \cos \frac{h\pi}{2} +\cos 1\ \sin \frac{h\pi}{2}
\]
etc...

[poncelet]

Grazie Gugo!