Sviluppo di Laurent
Dato questo sviluppo:
volevo sapere se è vero che ha come residuo Res(0)=iBeta e polo di ordine 5
Voi come lo risolvereste questo esercizio? Grazie!
volevo sapere se è vero che ha come residuo Res(0)=iBeta e polo di ordine 5
Voi come lo risolvereste questo esercizio? Grazie!
Risposte
Beh, basta scrivere:
[tex]$f(z)=\frac{1}{z^5} -\frac{\beta}{z^6}\ \sin \imath z$[/tex]
e sviluppare in serie il seno.
[tex]$f(z)=\frac{1}{z^5} -\frac{\beta}{z^6}\ \sin \imath z$[/tex]
e sviluppare in serie il seno.
"gugo82":
Beh, basta scrivere:
[tex]$f(z)=\frac{1}{z^5} -\frac{\beta}{z^6}\ \sin \imath z$[/tex]
e sviluppare in serie il seno.
esatto... e verrebbe $f(z) = 1/z^5 - i(beta)/z^5 sum_(n = 0)^(oo) z^(2n)/((2n+1)!) $
ma il residuo voi come lo trovate? perché non sono sicuro su quello che faccio...
Sembra OK.
Poi, per quanto riguarda il residuo, basta scrivere bene il termine con esponente [tex]$-1$[/tex] per ottenere ciò che t'interessa.
Poi, per quanto riguarda il residuo, basta scrivere bene il termine con esponente [tex]$-1$[/tex] per ottenere ciò che t'interessa.
"gugo82":
Sembra OK.
Poi, per quanto riguarda il residuo, basta scrivere bene il termine con esponente [tex]$-1$[/tex] per ottenere ciò che t'interessa.
Considerando che ho appena iniziato a studiare i residui, sono molto incerto, e non ho la soluzione di questo esercizio, quindi tendo a dipendere da voi XD
Comunque si, mi ritrovo... sviluppando mi viene:
$f(z)= 1/z^5 - i(beta)/z^5 - i(beta)/(2!z^3) - i(beta)/(5!z) - i(beta)/z^5sum_(n = 0)^(oo)z^(2n)/((2n+1)!) $
concordi anche te? E quindi il residuo dovrebbe essere appunto (centrato in z=0) Res(0)= $ i(beta) $ Corretto?
Mentre l'ordine del polo lo guardo dal coefficiente che ha la sommatoria (cioè un z alla quinta) o dal primo termine dello sviluppo? (che è sempre un z alla quinta)
Ma non mi pare...
Allora:
[tex]$f(z)= \left( 1-\imath \beta \right)\ \frac{1}{z^5} -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\imath \beta}{(2n+1)!}\ \frac{1}{z^{5-2n}}$[/tex]
sicché il termine con la potenza d'esponente [tex]$-1$[/tex], che trovi per [tex]$n=2$[/tex], è [tex]$-\tfrac{\imath \beta}{5!}\ \tfrac{1}{z}$[/tex]; essendo il residuo uguale al coefficiente di tale termine, si ha:
[tex]$\text{Res} (f(z);5) =-\frac{\imath \beta}{5!}$[/tex].
Allora:
[tex]$f(z)= \left( 1-\imath \beta \right)\ \frac{1}{z^5} -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\imath \beta}{(2n+1)!}\ \frac{1}{z^{5-2n}}$[/tex]
sicché il termine con la potenza d'esponente [tex]$-1$[/tex], che trovi per [tex]$n=2$[/tex], è [tex]$-\tfrac{\imath \beta}{5!}\ \tfrac{1}{z}$[/tex]; essendo il residuo uguale al coefficiente di tale termine, si ha:
[tex]$\text{Res} (f(z);5) =-\frac{\imath \beta}{5!}$[/tex].
si.. a parte che ho sbagliato e la sommatoria doveva partire da n=3 e non 0... poi è vero, l'errore che ho fatto era raccogliere male, chevvergogna :S
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